Кодификатор основных тем олимпиадных заданий по математике

Задачи олимпиад, как правило, не относятся строго к одной теме, их решение опирается на применение методов, относящихся сразу к нескольким направлениям. Более того, задача, формулировка которой относит ее к одной теме, зачастую допускает решение (а то и несколько различных решений), опирающееся на понятия сразу нескольких математических направлений, что способствует выработке у школьников навыка мыслить масштабно, охватывать все возможные нюансы, связанные с данной задачей, и из возможных решений выбирать наиболее оптимальное.

Примерные темы для олимпиадных заданий для учащихся 7–9 классов, 10 – 11 классов.

7 класс
Числовые ребусы, расстановка скобок и знаков, лингвистика.

Пропорции, доли, проценты, концентрации.

Движение, работа, производительность.

Логические задачи (истинность высказываний, про лжецов и т. п.).

Элементы теории чисел (признаки делимости, десятичная запись числа).

Степень с натуральным показателем.

Задачи на разрезание, склеивание, перекраивание.

Основные геометрические фигуры. Параллельные прямые. Смежные и вертикальные углы.

Признаки равенства треугольников. Сумма углов треугольника.

Олимпиадные трюки: принцип Дирихле, инварианты, раскраски, графы, игры.

Олимпиадные трюки: комбинаторика, взвешивания, неравенства.

8 класс
Формулы сокращенного умножения. Преобразование алгебраических выражений.

Действительные числа. Корни. Квадратный трехчлен.

Степень с целым показателем.

Графики линейной и квадратичной функций. Гипербола.

Различные системы счисления. Римские цифры.

Числовые неравенства. Сравнение чисел.

Геометрия. Четырехугольник. Параллелограмм. Трапеция. Теорема Фалеса.

Теорема Пифагора. Элементы тригонометрии.

Декартовы координаты на плоскости. Векторы на плоскости.

Движение. Симметрия относительно точки и прямой. Параллельный перенос.

Окружность и касательная. Задачи на построение (равные углы и т. п.), на ГМТ.

9 класс
Алгебраические преобразования. Иррациональные выражения.

Квадратичная функция и квадратный трехчлен. Разложение алгебраических выражений на множители. Графики функций.

Поиски максимумов и минимумов. Доказательство неравенств.

Формулы Виета для многочленов высших степеней.

Уравнения и системы уравнений более высокого порядка.

Числовые последовательности. Арифметические и геометрические прогрессии.

Метод математической индукции.

Тригонометрические выражения и преобразования.

Подобные треугольники, вписанные и описанные углы. Задачи на площади.

Для 10 -11-классов в олимпиады дополнительно включаются задания по следующим темам (конечно, при подготовке к олимпиаде их следует детализировать, разложив на составляющие).

Теория чисел.

Комбинаторика.

Теория графов.

Теория игр.

Инварианты.

Элементы теории функций.

Элементы теории игр.

Логические задачи.

Элементы теории оптимального управления (минимаксные задачи).

Планиметрия.

Стереометрия.

Олимпиадные задания составлены для выявления различных способностей учащихся. Кроме ознакомления школьников с понятиями, не входящими в стандартный курс школьной математики, и развития у них интереса к математике, задачи выявляют и развивают следующие черты:

умение логически мыслить;

способность строить математическую модель, отвечающую задаче, и умение анализировать эту модель математическими методами;

умение оперировать абстрактными математическими понятиями, отвлеченными от конкретной житейской ситуации;

способность применять стандартные школьные факты к решению нестандартных задач;

умение создавать новые методы решения задач;

умение выбирать оптимальное решение.