Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Умножение матрицы на число и сложение матриц
По определению, чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число. Пример 1. Умножить матрицу на число Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц и называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и : . Пример 2. Сумма двух матриц . Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через . Для любой матрицы имеем , . Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) . где , , - матрицы, , - числа. Произведение матриц Произведение матрицы на матрицу определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получим матрицу , у которой столько же строк, как у матрицы , и столько же столбцов, как у матрицы . По определению элемент матрицы равен сумме парных произведений элементов строки матрицы , на соответствующие элементы столбца матрицы . Пример 3. Найти произведение матриц и . Решение. Имеем: матрица размера , матрица размера , тогда произведение существует и элементы матрицы равны , , , , . , а произведение не существует. Пример 4. Найти произведение матриц , Очевидно, что произведение матриц не обладает перестановочным свойством, т.е. некоммутативно. Если все-таки выполняется равенство , то матрицы и называются перестановочными. Свойства произведения матриц: 1) , где -число; 2) ; 3) ; 4) . Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы равны 1. . Свойство единичной матрицы: для любой квадратной матрицы . Рассмотрим произвольную квадратную матрицу , порядка . Если существует такая матрица , что , то говорят, что обратима, а называют обратной матрицей для матрицы . Определитель матрицы Определителем квадратной матрицы называется число, которое обозначается через или и вычисляется при помощи следующих трех правил. Правило 1. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Замечание: Определитель одноэлементной матрицы равен самому элементу. Правило 2. Общий множитель элементов любой строки или столбца матрицы можно вынести за знак определителя. Замечание: Определитель матрицы, у которой строка или столбец состоит только из нулей, равен . Правило 3. Определитель матрицы не изменится, если к одной из строк (столбцов) матрицы прибавить другую строку (столбец) этой матрицы.
|