Решение. а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением

а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением

, то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (13). Най-

дем :

и подставим в (13):

б)

Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (14). Найдем :

и подставим в (14):

Вычисление объемов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми , (рис. 5), то его объем вычисляется по формуле:

(15)

Рис. 5	Рис. 6

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 6).

Чтобы получить объем тела вращения из объема тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем . По формуле (15) найдем и : (ед. объема);

(ед. объема);

(ед. объема).