ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

Теорема (о производной от интеграла с переменным верхним пределом). Производная от определённого интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции на этом верхнем пределе:

Доказательство:

Обозначим Придадим переменной х приращение тогда получит приращение:

где с – некоторая точка между х и По определению производной

Следствие. первообразная для функции .

Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Если функция непрерывна на отрезке [ a, b ], то справедлива формула

(8)

где любая первообразная для функции , т.е.,

Доказательство:

По следствию из предыдущей теоремы первообразная для функции . По теореме о первообразной для данной функции любая другая первообразная отличается от на постоянное слагаемое:

При получим (по свойству 2 определённого интеграла).Следовательно, и При

Пример. Вычислить определённый интеграл