Определённый интеграл

Определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу отрезком [ a, b ] оси ОХ и двумя прямыми х=а и х=b, параллельными оси ОУ.

Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , которая непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a, b ]. Выполним следующие построения:

1. Основание трапеции разобьём точками на n произвольных частей и обозначим длины отрезков

2. Из точек разбиения восстановим перпендикуляры и через обозначим площадь трапеции с основанием Тогда площадь криволинейной трапеции

3. Внутри каждого отрезка возьмём произвольную точку С _i и вычислим в ней значение функции Площадь каждой из трапеций будет приближённо равна площади прямоугольника со сторонами и Тогда

(5)

Отметим, что сумма в правой части равенства (5) называется интегральной суммой для функции на отрезке [ a, b ].

4. Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиений , т.е., В равенстве (5) перейдём к пределу при и получим:

(6)

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции свелось к вычислению предела интегральной суммы для функции .

Определение. Если существует предел при всех интегральных сумм, составленных для функции на отрезке [ a, b ], не зависящий ни от способа разбиения [ a, b ] на части, ни от выбора произвольной точки внутри каждого отрезка, то этот предел называется определённым интегралом от функции на отрезке [ a, b ]. Обозначается определённый интеграл

(7)

где а называется нижним пределом, а b — верхним пределом.

Сравнивая формулы (6) и (7), получаем геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл от неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции с основанием [ a, b ] и ограниченной сверху графиком функции , т.е.

Теорема (существования определённого интеграла). Если функция непрерывна на отрезке [ a, b ], то существует определённый интеграл от этой функции на отрезке [ a, b ].