Интегрирование рациональных дробей

Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

(4)

где и многочлены от степеней и соответственно.

Рациональная дробь (4) называется правильной, если и неправильной, если .

Определение. Простейшими рациональными дробями называют правильные рациональные дроби четырех типов:

где a, p, q, A, M, N — действительные числа,

При этом предполагается, что квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Простейшей дроби 1-го и 2-го типов интегрируются заменой . a 3-го типа — заменой (2). Интегрирование простейших дробей 4-го типа является громоздкими, и мы его рассматривать не будем.

Теорема (о представлении рациональной дроби в виде суммы простейших дробей). Всякую правильную рациональную дробь можно представить, и потом единственным образом, в виде суммы простейших дробей типов 1) — 4). При этом каждому множителю в знаменателе вида будет соответствовать группа из n слагаемых вида , а каждому множителю в знаменателе вида — слагаемые .

Постоянные , N ₁, N ₂, … называют неопределенными коэффициентами и находят по следующему алгоритму:

1) Сумму всех простейших дробей привести к общему знаменателю, который равен знаменателю дроби в левой части тождества.

2) Числитель получившейся дроби приравнять к числителю исходной дроби.

3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях многочленов в левой и правой частях полученного тождества.

4) Решить полученную систему уравнений, которая имеет единственное решение.

Теорема (о представлении неправильной рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби). Всякую неправильную рациональную дробь можно разложить, и притом единственным образом, на сумму многочлена (целая часть) и правильной рациональной дроби ( «остаток» от деления на ):

Итак, алгоритм интегрирования рациональных дробей:

1) Если подынтегральная дробь неправильная, то из неё выделяют целую часть , которая интегрируется непосредственно, и правильную рациональную дробь .

2) Правильную рациональную дробь раскладывают на сумму простейших дробей 1) — 4).

3) Простейшие дроби интегрируют по отдельности с помощью соответствующих замен переменных.

Пример. Найти интегралы от рациональных дробей.

а) б)