Краткие сведения из теории пределов функции

Число А называют пределом функции f (x) при (и пишут ), если для любого найдется число зависящее от e, такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Функция a(x) называется бесконечно малой (б.м.ф.) при ( если

Функция f (x) называется бесконечно большой (б.б.ф.) при , ( если для любого M > 0 найдётся число зависящее от М, такое, что для всех , удовлетворяющих условию , будет верно неравенство

Если функция a(x) есть бесконечно малая при (или то функция является бесконечно большой, и обратно, если функция f (x) бесконечно большая функция при , то является бесконечно малой функцией.

Если функции и бесконечно малые при (),
то чтобы сравнить их, нужно вычислить предел их отношения. Пусть Тогда:

— при называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем ;

— при и одного порядка малости;

— при более низкого порядка малости, чем .

Если , то бесконечно малые и называются эквивалентными:

Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую бесконечно малую функцию заменить на эквивалентную.

Примеры эквивалентных бесконечно малых функций при

Теоремы о пределах:

1. (c =const).

2. Если то:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел (число е = 2, 718…):

или

Чтобы найти предел элементарной функции нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х = х ₀ принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х = х ₀. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:

если если a > 1.

Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:

Устранить неопределенность можно с помощью алгебраических преобразований или используя правило Лопиталя.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. или б.б. функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

(5)

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или и затем использовать формулу (5).

Задание 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:

а) б) в)

Решение.

а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.

т. к.

Аналогично:

Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:

б)

в)

Замечание. Если, применив правило Лопиталя, снова получили неопределенность или , то снова применяем правило до тех пор, пока неопределённость не будет раскрыта.

Задание 8. Построить график функции используя общую схему исследования функции. Определить абсолютный максимум
и абсолютный минимум функции на отрезке [–1, 2].

Краткие теоретические сведения и образец решения примера сведены в таблицу 1.

Общая схема исследования и построения графика функции

п/п	Краткие теоретические сведения	Пример
	Область определения функции (о.о.ф.). Областью определенияD(f) функции называется множество всех таких, что выражение f (x) имеет смысл, т. е. взяв любое и подставив в f (x) можно найти соответствующее значение функции f (x)	определена для любого х, т. е. о.о.ф. или
2	Область непрерывности функции. Функция называется непрерывной в точке х 0, если она: 1) определена в точке х 0; 2) имеет конечный предел при ; 3) этот предел равен значению функции в этой точке Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Точка х 0 называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 1—3 непрерывности функции. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.	Так как функция определена на всей числовой оси, то она и непрерывна для любого Точек разрыва нет.
	Исследовать функцию на чётность, нечётность. Функция называется чётной, если , её график симметричен относительно оси ОY. Функция называется нечётной, если , её график симметричен относительно начала координат. Остальные функции называются функциями общего вида.	— общего вида

	Определить (если возможно) точки пересечения графика функции с осями координат. Для этого решить системы: Пересечение с осью OY пересечение с осью ОХ	решение затруднено.
5	Определить асимптоты графика функции. Асимптотой кривой называется прямая l, такое, что расстояние точки от этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки по кривой от начала координат. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если х 0 есть точка бесконечного разрыва функции, т. е. если хотя бы один из односторонних пределов функции Прямая есть наклонная асимптота графика функции , если причем оба предела существуют и конечны.	Т. к. функция не имеет точек разрыва, то вертикальных асимптот у графика функции нет. Наклонных асиптот нет.
	Определить интервалы монотонности и точки локального экстремума функции. Функция называется возрастающей на (а, b) если для Функция называется убывающей на (а, b) если для Функция называется монотонной на (а, b), если только или только на (а, b). Если для всех то на (а, b). Если для всех то на (а, b).	а) Определим критические точки: б) о.о.ф. найденными критическими точками разбиваем на интервалы и определяем знак внутри каждого
	Точка называется точкой локального максимума (max), [минимума (min)] функции , если существует некоторый интервал содержащий точку х 0 такой, что для всех Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Если х 0 точка локального экстремума непрерывной функции , то её первая производная в точке х 0 или равна нулю, или не существует. Точки, в которых или не существует, называются критическими точками. Первое достаточное условие экстремума: если при переходе через критическую точку х 0 знак изменился с «+» на «–», то в точке х 0 локальный максимум; с «–» на «+», то в точке х 0 локальный минимум; если знак не изменился, то в точке х 0 экстремума нет.	интервала. Результаты оформим в таблице. х –2 (–2; 0)   +   –   +
	Определить интервалы выпуклости функции, точки перегиба Функция называется выпуклой вверх [ вниз ] на интервале (а, b), если для любых выполняется неравенство: Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба. Если всюду на (а, b), то функция выпукла вниз () на (а, b). Если всюду на (а, b), то функция выпукла вверх на (а, b).	а) Определим точки, подозрительные на перегиб: б) О.о.ф. найденными точками разбиваем на интервалы, определяем знак внутри каждого интервала.
	Необходимое условие перегиба: если х 0 — абсцисса точки перегиба непрерывной функции , то или не существует. Достаточное условие точки перегиба: пусть или не существует. Тогда если при переходе через х 0 знак второй производной изменился, то точка перегиба графика функции (при этом существует).	х –1 –   +
8	Построить график. Для построения графика можно взять несколько дополнительных точек (–3, 1), (1, 5).
	Абсолютным (или глобальным) экстремумом функции называется наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значения функции в области. Если функция непрерывна на отрезке [ a, b ], то она всегда имеет на этом отрезке абсолютный максимум и абсолютный минимум. Абсолютный экстремум может быть или в точках локального экстремума Î [ a, b ] или в концевых точках отрезка. Если дифференцируемая функция на интервале (а, b) имеет единственную точку локального экстремума, то эта точка будет и точкой абсолютного экстремума функции на (а, b). Пример. на [–1; 2] Следовательно: — абсолютный минимум; — абсолютный максимум функции на [–1; 2].