Взаимозависимость

До этого времени мы уделяли пристальное внимание квантовой физике изолированных частиц и атомов. Мы выяснили, что электроны находятся внутри атомов в определенных энергетических состояниях, известных как стационарные состояния, хотя атом может быть в суперпозиции нескольких подобных состояний. Мы определили также, что электрон может перейти из одного энергетического состояния в другое с сопутствующим испусканием фотона. Испускание фотона, таким образом, свидетельствует о наличии энергетических состояний у атома; мы повсюду видим характерные цвета атомных переходов. Однако наш физический опыт связан с восприятием множества сгруппированных между собой атомов, и уже поэтому пора начать разбираться с тем, что происходит, когда атомы группируются.

Размышления над сочетаниями атомов поведут нас к химическим связям, разнице между проводниками и изоляторами и в конце концов к полупроводникам. Эти интересные материалы обладают свойствами, которые можно использовать для создания мельчайших устройств, способных производить базовые логические операции. Такие устройства называются транзисторами, и при объединении многих миллионов транзисторов можно создать микрочипы. Как мы увидим, теория транзисторов имеет квантовую природу. Трудно понять, как можно было бы изобрести и использовать транзисторы без квантовой теории, а современный мир без них уже нельзя представить. Это замечательный пример научной проницательности: мы столько времени описывали противоречащие интуиции подробности исследований природы, движимых чистым любопытством, и вот оказывается, что они привели к революции в повседневной жизни. Уильям Шокли, один из изобретателей транзистора и глава Группы физики твердого тела в компании Bell Telephone Laboratories, прекрасно показал, чем чреваты попытки классифицировать и контролировать научные знания[35]:

«Я хотел бы выразить свою точку зрения на определения, которыми часто пытаются классифицировать типы физических исследований: например, чистая, прикладная, неограниченная, фундаментальная, базовая, академическая, промышленная, практическая физика и т. д. Мне кажется, что слишком часто некоторые слова используются в пренебрежительном смысле: с одной стороны, это принижает практические цели производства полезных вещей, а с другой – отрицает возможное долгосрочное значение исследований в новых отраслях знания, где нельзя предсказать появление полезных результатов. Меня часто спрашивали, например, относится планируемый мной эксперимент к чистой или прикладной науке; я же считаю более важным понять, может ли эксперимент принести новые, желательно остающиеся на века знания о природе. Если получить такие знания удается, то это, на мой взгляд, и есть хорошая фундаментальная наука; и это гораздо более важный показатель, чем то, руководствуется ли экспериментатор жаждой чисто эстетического удовлетворения или пытается повысить стабильность работы транзистора высокого напряжения. Для высшего блага человечества требуется и тот и другой подходы».

Поскольку так говорил не кто‑ то, а изобретатель едва ли не самого полезного предмета со времен появления колеса, законодателям и управленцам всего мира стоило бы прислушаться к этим словам. Квантовая механика изменила мир, а новые теории, возникающие в наши дни на переднем краю физики, наверняка смогут еще раз изменить нашу жизнь.

Как всегда, мы начнем с начала: от Вселенной с одной частицей перейдем к рассмотрению Вселенной, где частиц будет две. Представьте себе, например, простую Вселенную, состоящую из двух изолированных атомов водорода; два электрона связаны с двумя отдаленными протонами, вокруг которых вращаются по орбите. Через несколько страниц мы начнем сводить их вместе и посмотрим, что получится, но пока предположим, что они расположены очень далеко друг от друга.

Принцип Паули утверждает, что два электрона не могут находиться в одинаковом квантовом состоянии, потому что это не отличимые друг от друга фермионы. Сначала может появиться соблазн заявить, что, если атомы далеко друг от друга, то два электрона должны пребывать в различных квантовых состояниях, так что и говорить тут не о чем. Но все значительно интереснее. Представьте, что мы помещаем электрон 1 в атом 1, а электрон 2 – в атом 2. Через некоторое время утверждение «электрон 1 все еще в атоме 1» не будет иметь смысла. Он может находиться и в атоме 2, потому что всегда есть вероятность того, что электрон совершил квантовый скачок. Как мы помним, все, что может произойти, действительно происходит, и электроны вполне могут за мгновение облететь всю Вселенную. На языке мельчайших циферблатов, даже если начать с того, который описывает один из электронов, расположенный вблизи только одного из протонов, придется в следующий миг ввести уже и циферблат вблизи другого протона. И хотя подразумевается, что циферблаты вблизи второго протона будут очень малы, их размеры все же не равны нулю, так что существует конечная вероятность нахождения там электрона. Чтобы более четко представлять себе последствия принципа Паули, нужно перестать мыслить о двух изолированных атомах и перейти к рассмотрению всей системы в целом: у нас есть два протона и два электрона, и наша задача – понять их самоорганизацию. Упростим ситуацию: пренебрежем электромагнитным взаимодействием между двумя электронами, что будет вполне неплохим приближением, если протоны удалены друг от друга, к тому же на ходе наших рассуждений это почти никак не скажется.

Что мы знаем о разрешенной энергии электронов в двух атомах? Для общей идеи можно обойтись без вычислений – тем, что мы уже знаем. Если протоны находятся очень далеко друг от друга (например, в нескольких километрах), то самая низкая разрешенная энергия для электронов должна обязательно соответствовать ситуации, когда они связаны с протонами и образуют два изолированных атома водорода. В этом случае велик соблазн сделать вывод, что самое низкое энергетическое состояние для всей системы с двумя протонами и двумя электронами будет соответствовать двум атомам водорода, которые находятся в своих самых низких энергетических состояниях и полностью игнорируют друг друга. Но каким бы верным это ни казалось, на самом деле это не может быть верным. Мы должны мыслить о системе в целом, а эта система из четырех частиц, как и изолированный атом водорода, должна иметь собственный уникальный спектр разрешенных энергий электрона. И принцип Паули подсказывает, что электроны не могут одновременно быть на совершенно одинаковом энергетическом уровне вблизи каждого протона, находясь в блаженном неведении по поводу существования друг друга[36].

Кажется, мы должны заключить, что пара идентичных электронов в двух отдаленных атомах водорода не может обладать одинаковой энергией, но мы также сказали, что ожидаем нахождение электронов на самом низком энергетическом уровне, соответствующем идеализированному, полностью изолированному атому водорода. Оба этих утверждения не могут быть истинными, и, немного подумав, можно понять, каким должен быть выход из положения: в идеализированном и изолированном атоме водорода должны быть два энергетических уровня, а не один, как мы предполагали изначально. Таким образом мы сможем уместить на нем два электрона и не нарушить принципа Паули. Разница между этими двумя энергиями должна быть очень мала, если атомы сильно удалены друг от друга, так что мы можем представить, что атомы не обращают друг на друга внимания. Но на самом деле они не забывают о существовании друг друга, и все из‑ за вездесущего принципа Паули: если один из электронов находится в одном энергетическом состоянии, то второй электрон должен пребывать в другом, отличном от первого, энергетическом состоянии, и эта тесная связь между двумя атомами сохраняется независимо от того, насколько они удалены друг от друга.

Та же логика распространяется не только на систему из двух атомов: если по Вселенной рассеяны 24 атома водорода, то на каждое энергетическое состояние в мире единственного атома будет приходиться 24 энергетических состояния, принимающих схожие, но не равные друг другу значения. Когда электрон в одном из атомов занимает некое конкретное состояние, он при этом «знает» все состояния оставшихся 23 электронов, как бы далеко те ни находились. Итак, каждый электрон во Вселенной осведомлен о состоянии каждого другого электрона. И останавливаться на электронах необязательно: протоны и нейтроны тоже можно считать фермионами, так что каждый протон знает о других протонах и каждый электрон знает о других электронах. Связь между частицами, из которых состоит наша Вселенная, настолько тесна, что распространяется на всю Вселенную. Связь эта эфемерна в том смысле, что для сильно отдаленных частиц разница энергий настолько мала, что не оказывает сколь‑ нибудь существенного воздействия на нашу повседневную жизнь.

Это одно из самых странно звучащих утверждений, к которым мы пришли на страницах книги. Кажется, что заявление о взаимосвязи каждого атома во Вселенной с каждым другим – это брешь, через которую может прорваться всякая холистическая бессмыслица. Но на самом деле здесь нет ничего, с чем бы мы не встречались до этого. Вспомните прямоугольную потенциальную яму, рассматриваемую в главе 6. Ширина ямы определяет разрешенный спектр энергетических уровней, и с изменением размера ямы изменяется и спектр энергетических уровней. То же верно и в данном случае: форма ямы, в которой находятся наши электроны, а следовательно, энергетические уровни, которые им разрешено занимать, определяется положением протонов. Если протонов два, то энергетический спектр определяется положением обоих. А если мы имеем дело с 1080 протонов, формирующих Вселенную, то положение любого из них влияет на форму ямы, в которой находятся 1080 электронов. Существует лишь один набор энергетических уровней, и когда что‑ то меняется (например, электрон переходит с одного энергетического уровня на другой), то все остальное должно немедленно перестроиться, так чтобы ни одна пара фермионов не оказалась на одинаковом энергетическом уровне.

Идея о том, что электроны немедленно «узнают» все друг о друге, на первый взгляд противоречит теории относительности Эйнштейна. Возможно, мы можем создать какой‑ то сигнальный аппарат, который будет использовать эти моментальные коммуникации для перемещения информации на скорости выше скорости света. Эта, казалось бы, парадоксальная черта квантовой теории впервые получила оценку в 1935 году – Эйнштейном вместе с Борисом Подольским и Натаном Розеном: Эйнштейн назвал ее «зловещими действиями на расстоянии» и в целом невзлюбил. Прошло определенное время, прежде чем физики осознали, что, несмотря на всю зловещесть, для переноса информации быстрее скорости света эти дальнобойные соответствия использовать нельзя, так что закону причинно‑ следственных связей ничто не угрожает.

Подобное нездоровое умножение энергетических уровней происходит не по каким‑ то эзотерическим причинам – это физическое обоснование химических связей. Кроме того, это ключевая причина того, почему одни материалы проводят электричество, а другие нет, а также подспорье в объяснении работы транзистора. Начнем наш путь к транзистору с возвращения к тому «упрощенному» атому, который известен нам из главы 6, где электрон удерживался в потенциальной яме. Эта простая модель не давала возможности верно вычислить энергетический спектр для атома водорода, но научила нас многому в области поведения отдельного атома. Хорошо послужит она и здесь. Возьмем две соединенные прямоугольные ямы и сделаем из них модель двух смежных атомов водорода. Сначала обсудим случай движения одиночного электрона в потенциале, созданном двумя протонами. Верхняя иллюстрация на рис. 8.1 показывает происходящее. Потенциал остается ровным, а потом ныряет вниз, образуя две ямы, что соответствует воздействию двух протонов, удерживающих электроны. Достаточный отступ в центре позволяет удерживать электрон и в левую, и в правую сторону. На техническом жаргоне говорят, что электрон движется в двухъямном потенциале.

.

Рис. 8.1. Сверху изображен двухъямный потенциал, а снизу – четыре интересные волновые функции, описывающие электрон в этом потенциале. Только две нижние функции соответствуют электрону с определенной энергией

Наша первая задача – с помощью этой модели понять, что происходит, когда мы сводим два атома водорода: мы увидим, что, когда они в достаточной мере сближаются, образуется молекула. После этого поразмышляем над системами, состоящими более чем из двух атомов, что позволит оценить, что происходит внутри твердого тела. Если ямы очень глубоки, можно воспользоваться результатами из главы 6 и определить, чему должны соответствовать наименьшие электронные состояния. Для одиночного электрона в одиночной прямоугольной яме самое низкое электронное состояние описывается волной‑ синусоидой, длина которой в два раза превышает размер ящика. Следующему за ним состоянию соответствует синусоида, равная по длине размеру ящика, и т. д. Если поместить электрон в одну часть двойной ямы и если эта яма достаточно глубока, разрешенные энергии должны быть близки по значению к значениям для электрона, удерживаемого в одиночной глубокой яме, так что волновая функция будет очень напоминать синусоиду.

Однако наше внимание сейчас будет приковано к незначительным различиям между идеально изолированным атомом водорода и атомом водорода в удаленной друг от друга паре.

Можно с уверенностью ожидать, что две верхние волновые функции, изображенные на рис. 8.1, соответствуют функциям для одиночного электрона, расположенного в левой или правой яме (помните, что слова «атом» и «яма» в данном случае взаимозаменяемы). Волны – почти синусоиды, их длина равняется двойной ширине ямы. Поскольку волновые функции идентичны по форме, можно сказать, что они должны соответствовать частицам одинаковой энергии. Но это не может быть верным, потому что, как мы уже говорили, должна быть очень небольшая вероятность, что электрон может перескочить из одной ямы в другую независимо от того, насколько глубоки эти ямы и как они удалены друг от друга. Мы намекнули на эту возможность, изобразив некоторое «просачивание» волн‑ синусоид через стенки ямы, что отражает как раз ту незначительную вероятность нахождения ненулевых циферблатов в соседней яме.

То, что у электрона всегда есть конечная возможность перескочить из одной ямы в другую, означает, что две верхние волновые функции на рис. 8.1 не могут соответствовать электрону с определенной энергией, потому что из главы 6 нам известно, что такой электрон описывается стоячей волной, форма которой не меняется со временем, или набором циферблатов, размеры которых не меняются со временем. Если с течением времени в изначально пустой яме образуются новые циферблаты, форма волновой функции, разумеется, также изменяется. Итак, состояние определенной энергии соответствует двойной яме? Ответ таков: состояния должны быть более демократичными, выражая равную возможность обнаружения электрона в любой из ям. Это единственный способ образовать стоячую волну и не дать волновой функции метаться туда‑ сюда, от одной ямы к другой.

Две нижние волновые функции с рис. 8.1 как раз обладают этим свойством. Именно так и выглядят самые низкие энергетические состояния. Это единственные представимые стационарные состояния, которые выглядят как одноямные волновые функции для каждой индивидуальной ямы и при этом описывают электрон, с одинаковой вероятностью находящийся в любой из ям. Это и есть те два энергетических состояния, которые, как мы выяснили, могут присутствовать, если поместить два электрона на орбиту вокруг двух удаленных протонов и получить два почти идентичных атома водорода в соответствии с принципом Паули. Если один электрон описывается одной из двух этих волновых функций, то другой электрон должен описываться второй – так требует принцип Паули[37].

Если ямы достаточно глубоки или атомы достаточно удалены, то две энергии будут почти равны, при этом они станут почти равны самой низкой энергии частицы, удерживаемой в одиночной изолированной яме. Не нужно беспокоиться по поводу того, что одна из волновых функций словно бы встала с ног на голову: не забывайте, что при определении вероятности найти частицу в каком‑ либо месте значение имеет только размер циферблата. Иными словами, мы можем обратить все нарисованные в этой книге волновые функции и при этом нисколько не изменить их физического содержания. «Частично вставшая на голову» волновая функция (на рисунке она подписана как «антисимметричное энергетическое состояние») поэтому продолжает описывать равную суперпозицию электрона, удерживаемого в левой яме, и электрона, удерживаемого в правой яме. Но важно заметить, что симметричная и антисимметричная волновые функции не полностью совпадают (и не должны, а то Паули бы расстроился). Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на поведение этих двух волновых функций самой низкой энергии в области между ямами.

Одна волновая функция симметрична по отношению к центру двух ям, а другая антисимметрична (так они и помечены на рисунке). Под симметрией мы имеем в виду то, что левая волна зеркально отражает правую. Под антисимметрией – то, что левая волна будет зеркальным отражением правой только после того, как повернется вверх ногами. Терминология не так важна. Важно то, что в области между двумя ямами эти волны различаются. Именно эта незначительная разница и показывает, что они описывают состояния с очень мало различающимися энергиями, но все же различающимися. Поэтому поворот одной из волн вверх ногами действительно имеет значение, но очень небольшое, если ямы достаточно глубоки или достаточно взаимоудалены.

Если считать, что частицы имеют определенную энергию, можно запутаться, потому что, как мы только что выяснили, они описываются волновыми функциями, имеющими одинаковый размер в обеих ямах. Это подразумевает равную вероятность обнаружения электрона в обеих ямах, даже если эти ямы разделяет вся Вселенная.

Как изобразить происходящее в том случае, когда мы помещаем один электрон в одну яму, а второй электрон в другую? Мы уже говорили, что ожидаем наполнения изначально пустой ямы циферблатами, что будет отображать вероятность того, что частица может перескочить с одной стороны на другую. Мы даже намекнули на ответ, сказав, что волновая функция «размазывается» туда‑ сюда. Чтобы увидеть, как это происходит в действительности, заметим, что можно выразить состояние, локализованное на одном из протонов, через сумму двух волновых функций с самой низкой энергией. Мы показали это на рис. 8.2, но что это значит? Если электрон находится в определенное время в конкретной яме, это предполагает, что у него отсутствует определенная энергия. А именно: измерение его энергии даст значение, равное одному из двух возможных значений, соответствующих двум состояниям определенной энергии, которые образуют волновую функцию. Таким образом, электрон находится в двух энергетических состояниях. Мы надеемся, что на этой стадии книги подобная идея вам уже не в новинку. Но вот что интересно: поскольку эти два состояния обладают не совсем одинаковой энергией, стрелки их циферблатов вращаются с немного разной скоростью.

Рис. 8.2. Вверху: электрон, локализованный в левой яме, можно представить как сумму двух состояний с самой низкой энергией. Внизу: точно так же электрон, локализованный в правой яме, можно представить как разность двух состояний с самой низкой энергией

В результате частица, изначально названная локализованной вокруг одного протона волновой функцией, со временем будет описываться волновой функцией, размещенной вокруг другого протона. Не вдаваясь в детали, достаточно сказать, что этот феномен аналогичен тому, как две звуковые волны примерно одной частоты складываются, давая в результате волну, которая сначала будет громкой (когда две волны находятся в фазе), а затем, через некоторое время, тихой (когда две волны окажутся в противофазе). Это явление называется биениями. Когда частота волн становится все ближе, временной интервал между громким и тихим периодами увеличивается, пока, наконец, волны не обретают совершенно одинаковую частоту, образуя чистый тон. Все это знакомо любому музыканту, который, возможно, неосознанно пожинает плоды этой сферы волновой физики, пользуясь камертоном. То же самое происходит и со вторым электроном, расположенным во второй яме. Он тоже со временем переходит из одной ямы в другую, и его поведение с зеркальной точностью отражает поведение первого электрона. Хотя в начале эксперимента один электрон находится в одной яме, а другой – во второй, через довольно долгое время электроны поменяются местоположением.

Теперь используем то, что усвоили ранее. Очень интересная физика происходит, когда мы начинаем приближать атомы друг к другу. В нашей модели приближение атомов соответствует сужению барьера, отделяющего две ямы. Когда барьер истончается, волновые функции начинают сливаться, и вероятность того, что электрон окажется между двумя протонами, увеличивается. Рис. 8.3 иллюстрирует, как выглядят четыре волновые функции с самой низкой энергией, когда барьер становится тоньше. Интересно, что волновая функция с самой низкой энергией начинает напоминать волну‑ синусоиду с самой низкой энергией, которую мы получили бы, если бы имели дело с одиночным электроном и одиночной широкой ямой. То есть два пика сливаются, образуя единый пик (с небольшим углублением). В то же время волновая функция для чуть более высокой энергии тоже весьма похожа на волну‑ синусоиду, соответствующую чуть более высокой энергии для одиночной широкой ямы. Этого и следовало ожидать, потому что чем у же барьер между ямами, тем слабее его эффект, и со временем, когда барьера вовсе не останется, эффект его станет равен нулю, так что наш электрон будет вести себя точно так же, как в одиночной яме.

Рис. 8.3. Напоминает рис. 8.1, только ямы находятся ближе друг к другу. «Протечка» в пространство между ямами возрастает. В отличие от рис. 8.1, мы показываем также волновые функции, соответствующие паре энергетических уровней с чуть более низкой энергией, чем минимальная

Увидев, что происходит в крайних случаях (когда ямы находятся очень далеко и очень близко друг от друга), мы можем закончить картину рассмотрением варьирования разрешенных энергий электрона при уменьшении расстояния между ямами. Мы зарисовали результаты для четырех самых низких энергетических уровней на рис. 8.4. Каждая из четырех линий соответствует одному из четырех нижних энергетических уровней, и рядом с ними мы начертили соответствующие волновые функции. Правый край рисунка показывает волновые функции при большом расстоянии между ямами (см. также рис. 8.1). Как мы и ожидали, разница между энергетическими уровнями электронов в каждом колодце почти не ощутима. Однако когда ямы сходятся, энергетические уровни начинают отдаляться друг от друга (сравните волновые функции слева с изображенными на рис. 8.3). Интересно, что энергетический уровень, соответствующий антисимметричной волновой функции, растет, а соответствующий симметричной – уменьшается.

Рис. 8.4. Вариант разрешенных энергий электрона при изменении расстояния между ямами

Это имеет глубокие последствия для реальной системы из двух протонов и двух электронов – то есть двух атомов водорода. Помните, что в реальности два электрона могут находиться на одном энергетическом уровне, если имеют противоположные спины. Это значит, что они оба могут поместиться на самом низком (симметричном) энергетическом уровне, а самое главное – что этот уровень теряет энергию, когда атомы сходятся. Следовательно, для двух удаленных атомов сближение будет энергетически благоприятно. Именно так и происходит в природе[38]: симметричная волновая функция описывает систему, в которой электроны распределены между двумя протонами более ровно, чем можно было бы ожидать от «отдаленной» волновой функции, и, поскольку эта «распределяющая» конфигурация обладает низкой энергией, атомы притягиваются друг к другу. Это притяжение в какой‑ то момент прекращается, поскольку оба протона заряжены положительно и как таковые не могут не отталкиваться (и из‑ за равных зарядов электронов в том числе), но это отталкивание превосходит межатомное притяжение лишь на расстояниях меньше 0, 1 нм (при комнатной температуре).

В результате пара атомов водорода в состоянии покоя окажется вместе. У этой пары связанных атомов водорода есть свое название: это молекула водорода.

Прикрепление двух атомов друг к другу посредством обмена электронами носит название ковалентной связи.

Вернемся к верхней волновой функции на рис. 8.3: примерно так выглядит ковалентная связь в молекуле водорода. Помните, что высота волны соответствует вероятности нахождения электрона в конкретной точке[39]. Над каждой ямой, то есть вокруг каждого протона, наблюдается пик, и это сообщает нам, что каждый электрон все еще более вероятно найти вблизи одного или другого протона. Но при этом существует и значительная вероятность того, что электроны будут располагаться и между протонами.

Химики говорят, что при ковалентной связи атомы «делят друг с другом» электроны, и это мы здесь и наблюдаем – даже в нашей модели с двумя ямами. Помимо молекулы водорода, тенденцию атомов делиться электронами мы видели, говоря о химических реакциях.

Этот вывод нас полностью удовлетворяет. Мы выяснили, что для атомов водорода, расположенных очень далеко друг от друга, тонкие различия между двумя самыми низкими энергетическими состояниями имеют лишь академический интерес, хотя они и навели нас на мысль о том, что каждый электрон во Вселенной знает обо всех остальных ее электронах. И эта мысль просто завораживает. С другой стороны, два состояния начинают все дальше расходиться, когда протоны сходятся, и более низкое состояние начинает со временем описывать уже молекулу водорода. Теперь в дело включается не просто академический интерес, потому что ковалентная связь – причина того, что вы не просто множество атомов, размазанных в бесформенную кучу.

Продолжим эту интеллектуальную линию и подумаем, что происходит, когда вместе собирается более двух атомов. Три больше двух, так что начнем с рассмотрения трехъямного потенциала, показанного на рис. 8.5. Как обычно, нужно представить, что каждое углубление – это атом. Здесь должно быть три самых низких энергетических состояния, но при взгляде на рисунок легко решить, что на каждое состояние одиночного колодца приходится по четыре. Те четыре состояния, которые мы имеем в виду, показаны на рисунке и соотносятся с волновыми функциями, которые либо симметричны, либо антисимметричны по отношению к центру двух потенциальных барьеров[40]. Этот подсчет не может быть верным, потому что иначе получилось бы, что в этих четырех состояниях могли бы находиться четыре одинаковых фермиона, нарушая тем самым принцип Паули. Чтобы принцип Паули соблюдался, энергетических состояний должно быть только три – и их, разумеется, именно столько.

Рис. 8.5. Тройная яма, моделирующая ряд из трех атомов, и возможные волновые функции с самой низкой энергией. Внизу показано, как из трех остальных волн можно получить нижнюю

Чтобы убедиться в этом, нужно отметить, что мы всегда можем записать одну из четырех волновых функций на этом рисунке как сочетание трех других. В нижней части рисунка показано, как это работает в данном случае; мы продемонстрировали, как получить последнюю волновую функцию путем сложения и вычитания трех остальных.

Определив три самых низких энергетических состояния для частицы, находящейся в трехъямном потенциале, можем задаться вопросом, как в данном случае будет выглядеть рис. 8.4, и не удивляться, что выглядеть его аналог будет очень похоже – только пара разрешенных энергетических состояний превратится в трио.

Но хватит о трех атомах – мы сразу же переносим внимание на цепочку из множества атомов. Это особенно интересно, потому что именно здесь содержатся ключевые идеи, которые позволят многое понять о происходящем внутри твердых тел. Если существует N ям (при моделировании цепи из N атомов), то для каждой разрешенной энергии в одиночной яме будет N энергий. Если N будет равняться чему‑ то вроде 1023, что типично для количества атомов в небольшом куске твердого материала, то происходит огромное количество слияний. В результате рис. 8.4 будет в этом случае выглядеть примерно как рис. 8.6. Вертикальная пунктирная линия показывает, что у атомов, отделенных соответствующим расстоянием, электроны могут иметь лишь определенные разрешенные энергии. Это никак не может вызвать удивления (а если все еще удивляет, лучше начать читать эту книгу заново), но интересно, что разрешенные энергии идут «полосами». Например, разрешены энергии от А до В, но затем не разрешено ничего вплоть до С, после чего разрешены энергии от С до D и т. д. То, что в цепь объединено много атомов, значит, что в каждой полосе существует очень много разрешенных энергий. Собственно, их так много, что можно предположить: в типичном твердом теле разрешенные энергии образуют континуум в каждой полосе. Эта черта нашей модели сохраняется и в реальном твердом теле: электроны действительно обладают энергиями, сгруппированными в подобные полосы, и это обусловливает важные особенности твердых тел. В частности, эти полосы объясняют, почему некоторые материалы (металлы) проводят электричество, а другие (изоляторы) не проводят.

Рис. 8.6. Энергетические полосы в твердом теле и их варьирование на расстоянии между атомами

Почему так? Начнем с анализа цепи атомов (как обычно, моделируемой как цепь потенциальных ям), но предположим на сей раз, что в каждом атоме несколько электронов. Разумеется, это нормальное явление – только у водорода всего один электрон связан с одним протоном, так что мы переходим от обсуждения цепочки атомов водорода к более интересному случаю цепочки атомов потяжелее. Нужно вспомнить также о том, что существует два типа электронов – со спином вверх и со спином вниз, а принцип Паули гласит, что мы можем поместить на каждый разрешенный энергетический уровень не более двух электронов. Отсюда следует, что для цепи атомов, каждый из которых содержит всего один электрон (то есть это атомы водорода), энергетическая полоса n = 1 заполнена наполовину. Это показано на рис. 8.7, где мы изобразили энергетические уровни для цепи из пяти атомов. Это значит, что каждая полоса содержит пять отчетливо выделяемых разрешенных энергий. Эти пять энергетических состояний могут принять максимум десять электронов, но нам стоит беспокоиться лишь о пяти, так как в конфигурации с самой низкой энергией цепь атомов содержит пять электронов, занимающих нижнюю половину энергетической полосы n = 1. Если бы у нас в цепи было 100 атомов, то полоса n = 1 могла бы содержать 200 электронов, но в случае с водородом будет только 100 электронов, так что полоса n = 1 в конфигурации с самой низкой энергией вновь заполнится наполовину. Рис. 8.7 показывает также, что происходит в том случае, когда на атом приходится два электрона (гелий) или три (литий). В случае с гелием конфигурация с самой низкой энергией соответствует заполненной полосе n = 1, а в случае с литием – заполненной полосе n = 1 и наполовину заполненной полосе n = 2. Должно быть понятно, что такая схема полного и половинного заполнения будет продолжаться, так что атомы с четным числом электронов всегда будут иметь заполненные полосы, а атомы с нечетным – наполовину заполненные полосы. Степень заполнения полосы, как мы очень скоро выясним, и служит причиной того, почему некоторые материалы оказываются проводниками, а другие – изоляторами.

Рис. 8.7. Расположение электронов в самых низких доступных энергетических состояниях в цепочке из пяти атомов, где каждый атом содержит 1, 2 или 3 электрона. Черные точки обозначают электроны

Сейчас представим, что мы подсоединяем концы атомной цепочки к клеммам батареи. По опыту известно, что, если речь идет об атомах металла, электрический ток будет проводиться. Но что это значит и как это объясняется тем, что мы уже знаем?

Точное действие батареи на атомы внутри провода, к счастью, понимать не надо. Все, что нужно знать, – это что подсоединение к батарее дает источник энергии, способный подтолкнуть электрон, причем всегда в одном и том же направлении. Почему батарея ведет себя именно так? Хороший вопрос. Дело в том, что она создает внутри провода электрическое поле, которое и подталкивает электроны. Это не самое удовлетворительное объяснение, но в пределах книги оно нас вполне устроит. В конце концов, мы могли бы обратиться к законам квантовой электродинамики и попытаться объяснить это явление через взаимодействие электронов с фотонами. Но при этом к разговору, который мы ведем сейчас, не добавилось бы ровным счетом ничего, так что в интересах краткости мы этого не сделаем.

Представьте электрон, находящийся в одном из состояний с определенной энергией. Начнем с предположения, что действие батареи лишь незначительно подталкивает электроны. Если электрон находится в состоянии низкой энергии и многие другие электроны стоят выше его на энергетической лестнице (используя этот образ, мы держим в уме рис. 8.7), он не сможет получить энергетический толчок от батареи. Его заблокируют, потому что более высокие энергетические состояния уже заполнены. Например, батарея способна вытолкнуть электрон на энергетическое состояние несколькими ступеньками выше, но, если все доступные ступеньки уже заняты, наш электрон должен отказаться от получения дополнительной энергии, поскольку двигаться просто некуда. Помните, что принцип Паули говорит о том, что, если все места заняты, дополнительные электроны не смогут попасть выше. Электрон вынужден вести себя так же, как если бы никакой батареи просто не существовало. Иная ситуация с электронами, имеющими самые высокие энергии. Они находятся близко к верху и могут в принципе впитать небольшой энергетический толчок от батареи и перейти на более высокое состояние – но только если не располагаются на самом верху уже заполненной полосы. Вернувшись к рис. 8.7, увидим, что электроны с самой высокой энергией смогут впитать энергию от батареи, если атомы в цепи содержат нечетное число электронов. Если это число четное, то верхние электроны все равно не смогут никуда сдвинуться, потому что в энергетической лестнице наблюдается большой разрыв, преодолеваемый только с помощью очень сильного толчка.

Отсюда следует, что если атомы твердого тела содержат четное число электронов, то эти электроны могут вести себя так же, как если бы к ним не подключали никакой батареи. Ток просто не потечет, потому что электроны не смогут впитать энергию. Это описание изолятора. Единственное исключение – если разрыв между верхней частью самой высокой заполненной энергетической полосы и нижней частью следующей пустой полосы достаточно невелик, и очень скоро нам придется рассмотреть этот случай более подробно. Напротив, если атомы содержат четное число электронов, то верхние электроны всегда будут способны впитывать энергетический толчок батареи. В результате они перескакивают на более высокий энергетический уровень, и, поскольку толчок всегда происходит в одном и том же направлении, в итоге вызывается движение этих мобильных электронов, которое мы и определяем как электрический ток. Очень упрощенно мы можем, таким образом, сделать вывод: если твердое тело состоит из атомов, содержащих нечетное число электронов, оно должно стать электрическим проводником.

К счастью, реальный мир не настолько прост. Так, алмаз – кристаллическое твердое тело, полностью состоящее из атомов углерода, которые содержат шесть электронов, – оказывается изолятором. Графит же, тоже полностью состоящий из углерода, – проводник. Более того, на деле выходит, что правило четного и нечетного числа электронов редко работает. Просто наша модель линий из ям слишком рудиментарна. А вот что совершенно верно, так это то, что хорошие проводники электричества характеризуются возможностью электронов с самой высокой энергией перескакивать в состояния с более высокой энергией, в то время как свойства изоляторов обусловлены тем, что доступ их самых верхних электронов на более высокий уровень блокируется разрывом в лестнице разрешенных энергий.

История эта обретает новый поворот, и именно он объяснит нам в следующей главе, как полупроводники проводят ток. Представьте себе электрон, который может свободно двигаться по незаполненной полосе идеального кристалла. Мы выбрали кристалл, чтобы установить, что химические связи (возможно, ковалентные) способствуют регулярной организации атомов.

Наша одномерная модель твердого тела соответствует кристаллу, если все ямы равноудалены друг от друга и имеют одинаковый размер. Подсоедините батарею – и электрон с радостью перепрыгнет с одного уровня на другой после того, как его слегка подтолкнет приложенное электрическое поле. В результате электрический ток будет постоянно расти, поскольку электроны будут впитывать все больше энергии и двигаться все быстрее и быстрее. Для каждого, кто хоть как‑ то знаком с электричеством, это утверждение должно звучать странно, потому что никакого закона Ома не наблюдается (напомним: ток I зависит от приложенного напряжения U согласно формуле U = I × R, где R – сопротивление цепи). Закон Ома возникает, потому что электроны, перескакивая вверх по энергетической лестнице, могут терять энергию и возвращаться в прежнее состояние; это может произойти, только если атомная решетка не идеальна – либо из‑ за примесей (то есть случайных атомов, отличающихся от большинства), либо из‑ за того, что атомы совершают значительные движения, а это гарантированно происходит при любой отличающейся от нуля температуре. В результате электроны большую часть времени играют в «змеи и лестницы» на микроуровне: они взбираются по энергетической лестнице, только чтобы снова упасть в результате взаимодействий с несовершенной атомной решеткой. В среднем получается типичная энергия электрона, что ведет к постоянству тока. Эта типичная энергия электрона определяет скорость течения электронов по проводу – того, что мы называем электрическим током. Сопротивление провода – мера того, насколько несовершенна атомная решетка, через которую идут электроны.

Но это не такой уж крутой поворот. Даже без закона Ома ток не нарастал бы равномерно. Когда электроны достигают верхней части полосы, они начинают вести себя очень странно, и в результате такого поведения ток начинает уменьшаться, а со временем разворачивается в другую сторону. И это очень странно: даже несмотря на то, что электрическое поле подталкивает электроны в одном направлении, они, достигнув верха энергетической полосы, текут вспять. Объяснение этого удивительного эффекта лежит за пределами нашей книги, а пока достаточно сказать, что ключевую роль здесь играют положительно заряженные ядра: они так толкают электроны, что те меняют направление.

Итак, как и было заявлено ранее, мы рассмотрим, что происходит, когда потенциальный изолятор ведет себя как проводник, потому что разрыв между последней заполненной полосой и следующей, пустой полосой «достаточно мал». На этой стадии стоит познакомиться с научным жаргоном. Последняя (то есть самая высокая) энергетическая полоса, заполненная электронами без свободных мест, называется валентной зоной, а следующая полоса (в нашем анализе – пустая или наполовину заполненная) – зоной проводимости. Если валентная зона и зона проводимости перекрываются (а это вполне возможно), то никакого разрыва не наблюдается и потенциальный изолятор начинает вести себя как проводник. А что если разрыв есть, но при этом он «достаточно мал»? Мы указали, что электроны могут получать энергию от батареи, так что можно предположить: если батарея достаточно мощная, она может дать довольно мощный толчок для перехода электрона вблизи от верха валентной зоны в зону проводимости. Это возможно, но мы не будем рассматривать такие случаи, потому что обычные батареи не способны создать достаточно мощный энергетический толчок. Добавим цифр: электрическое поле в твердом теле обычно имеет порядок нескольких вольт на метр, а нам, чтобы подтолкнуть электрон к скачку на электронвольт[41]из валентной зоны к зоне проводимости в типичном изоляторе, понадобятся поля нескольких вольт на нанометр (то есть в миллиард раз сильнее). Значительно больше нас интересует толчок, который электрон может получить от атомов, составляющих твердое тело. Они не сидят неподвижно на одном и том же месте, немного раскачиваются, и чем горячее твердое тело, тем сильнее они раскачиваются. Качающийся атом может сообщить электрону гораздо больше энергии, чем обычная батарея – достаточно, чтобы энергия атома подскочила на несколько электронвольт. При комнатной температуре, впрочем, электрон довольно редко получает подобный толчок, поскольку при 20 ℃ тепловая энергия составляет примерно 1/40 электронвольт. Но это лишь средний показатель, а в твердом теле очень много атомов, поэтому такое периодически случается. В этом случае электроны могут бежать из тюрьмы зоны валентности и перейти в зону проводимости, где впитать легкие энергетические толчки от батареи и вызвать электрический ток.

Материалы, в которых при комнатной температуре достаточное количество электронов можно перевести из валентной зоны в зону проводимости, имеют собственное название: это полупроводники.

При комнатной температуре они могут проводить электрический ток, но, когда они охлаждаются и их атомы раскачиваются меньше, способность проводить электричество снижается, и они снова превращаются в изоляторы. Два классических примера полупроводников – кремний и германий, и благодаря своей двойственной натуре они могут использоваться с большой выгодой. На самом деле не будет преувеличением сказать, что технологическое применение полупроводниковых материалов произвело в мире революцию.