Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Конечно-разностный аналог дифференциального уравнения неустановившейся одномерной фильтрации жидкости с единичными коэффициентами (вывод).






Рассмотрим однородный пласт, в к-м происходит одномерная фильтрация несжимаемой жидкости. Для этого случая ур-е нестац. Фильтрации имеет вид: ¶2Р/¶х2=(1/c)× ¶Р/¶t +q (1)

c=k× K/(mm) где К – объемный модуль упругости

Введем безразмерные величины:

=х/L; =P/Pн; q=c× t/L2; (2)

x= × L; Р= × Pн; t=q× L2/c; (3)

Подставим (3) в (1):

¶2Р/¶х2= (¶( × Pн)/¶x)=(Pн/L2)* ¶2 2 (4)

¶Р/¶t=(c× Pн/L2)× ¶ /¶q (5)

(Рн/L2)× ¶2 2=(c× Рн/c× L2)¶ /¶q+ Рн× f/L2; f=q× L2/Pн; q=Pн× f/L2. (6)

¶2 2=¶ /¶q+f (7).

В дальнейшем знак «» уберем, но будем иметь ввиду, что это те же безразмерные величины.

¶2Р/¶х2=¶Р/¶q+f (7')

Разложение в ряд Тейлора:

Р(х)=Р(а)+Р'(а)(х-а)+Р''(а)(х-а)2/2! +…(8)

Мы рассматриваем точку i, в которой давление известно Рi. Нас интересует Рi+1 или Рi-1

Рi+1=Pi+Pi'Dx+Pi''(Dx)2/2! +Pi'''(Dx)3/3! +… (9)

Рi-1=Pi-Pi'Dx+Pi''(Dx)2/2! -Pi'''(Dx)3/3! +… (10). Из (9) найдем первую производную:

Рi'=(Рi+1-Рi)/Dx-Pi''× Dx/2! +Pi'''× (Dx)2/3! -… (11)

Рi'=(Рi+1-Рi)/Dx-0(Dx) (12)

где 0(Dx) – остаточный член первого порядка малости относительно Dx. Из (10)-аналогично:

Рi'=(Рi-Рi-1)/Dx+0(Dx) (13)

Складывая (12) и (13): Рi'=(Рi+1-Рi-1)/(2× Dx)+0(Dx)2 (14) где 0(Dx)2 - остаточный член второго порядка малости относительно Dx.

Сложим (9) и(10):

Рi+1+ Рi-1=2Рi+2 Pi''(Dx)2/2! +4 PiIV(Dx)4/4! +… (15)

Рi''=(Рi-1-2× Рi+Рi+1)/(Dx)2+0(Dx)2 (16)

По времени введем шаг Dt= τ. k – номер временного узла.

¶P/¶q» Рk'= (Pk-Pk-1)/t+0(t); Dq=t (17) Явная и неявная конечно-разностная схема.

Р(к-1)-распределение Р на момент времени (к-1).

Внутренних узлов всего (n-1) и 2 граничных узла 0 и n. Производная в выражении (16) может быть записана для (к-1) временного слоя:

(Рi-1, k-1-2× Pi, k-1+Pi+1, k-1)/(Dx)2=(Pi, k-Pi, k-1) / t + fi, k (18) – конечно-разностное уравнение.

Известны: Рi-1, k-1; Рi, k-1; Рi+1, k-1. fi, k – плотность стока (источника) задана.

(18) соответствует явной конечно-разностной схеме, поскольку каждое уравнение содержит одно неизвестное давление Pi, k. Если записать (18) для k-го временного слоя:

(Рi-1, k-2× Pi, k+Pi+1, k)/(Dx)2=(Pi, k-Pi, k-1)/t+fi, k (19) - соответствует неявной конечно-разностной схеме, в к-й (n-1)+2=n+1 уравнений с n+1 неизвестных Р. В каждом уравнении (19) содержится 3 неизвестных.

Для решения ур-й типа (19) составляется система уравнений из n+1 ур-й с n+1 неизвестными. Решается такая система на каждом временном уровне методом Гаусса или методом прогонки. Применение явной схемы возможно при t£ (Dх)2/2 – усл-е обеспечивающее сходимость. Неявная схема не требует таких ограничений.

7. Решение системы конечно-разностных уравнений методом прогонки (для случая неустановившейся плоскопараллельной фильтрации жидкости в пласте с еди­ничными коэффициентами).

(Pi-1, k-1- 2Pi, k-1+ Pi+1, k-1)/(∆ x)2=(Pi, k- Pi, k-1)/τ +fi, k, (1), где (Pi-1, k-1, Pi, k-1, Pi+1, k-1-известны) - явная конечно-разностная схема.

(Pi-1, k- 2Pi, k+ Pi+1, k)/(∆ x)2= (Pi, k- Pi, k-1)/ τ +fi, k, (2)-неявная схема, i=1, n-1.

Составляя систему ур-й по неявной схеме, получаем (n+1) ур-е для внутренних узлов с (n+1) неиз-ми давлениями. Чтобы сделать систему замкнутой записывают систему при (i=0, i=n) граничных условиях. Итак, записывая производные на границах в виде:

А) на левой границе (i=0): ¶Р/¶х (3)

(Р1, к-Р0, к)/∆ х=0 (4)–конечно-разностное уравнение производной (3);

Б) на правой границе (i=n): ¶Р/¶х (5)

Рn, к-Р(n-1), к)/∆ х=0(6)-конечно-разностное уравнение производной (5).

Из (4) следует Р0, к= Р1, к (4а). Из (6) следует Р(n-1), к= Рn, к (6а). Итак, мы имеем замкнутую систему. Ее решают методом прогонки значений систем конечно-разностных схем неявн. ур-й.

Для i=1: (P2, k- 2P1, k+ P0, k)/(∆ x)2= (P1, k- P1, k-1)/τ +f1, k (7). С учетом (4а) можно записать: (P2, k- P1, k)/(∆ x)2= (P1, k- P1, k-1)/τ +f1, k (8)

Р1, к=[Р2, к+(∆ x)2(P1, k-1- τ f1, k)/τ ] / [1 + (∆ x)2/τ ] (9)

Обозначим: А1, к=1/(1+(∆ x)2/τ); С1, к=((∆ x)2/τ)/(1+(∆ x)2/τ))*(Р1, к-1-τ *f1, к) (10).

Р1, к=А1, кР2, к+С1, к (11).

Аналогично можно показать:

Для i=2: Р2, к=А2, кР3, к+С2, к (12).

А2, к=1/(2-А1, к+(∆ x)2/τ),, ….(29)

С2, к={С1, к+(∆ x)2 *(Р2, к-1-τ *f2, к) /τ }/(2- А1, к+(∆ x)2/τ) (13).

Для любой внутренней точки i: Рi, к=Аi, кР(i+1), к+Сi, к (14).

Аi, к=1/(2-Аi-1, к+(∆ x)2/τ),, ….(31)

Сi, к={Сi-1, к+(∆ x)2 *(Рi, к-1-τ *fi, к) /τ }/(2- Аi-1, к+(∆ x)2/τ) (15).

Для i=n-1: Рn-1, к=Аn-1, кРn, к+Сn-1, к (16).

С учетом (6а) получим: Рn-1, к= Сn-1, к /(1-Аn-1, к) (17).

Коэф-ты А и С наз. прогоночными коэф-ми. Они не содержат неизвестных давлений и могут быть вычислены самостоятельно. Прогоночные коэф-ты вычисляются в порядке возрастания координального индекса i (слева на право). После вычисления прогоночных коэф-ов вычисляются давления в узловых точках в порядке убывания индекса i, т.е. справа налево. Так реализуется метод прогонки. В большинстве координатных узлов f1, k=0. f1, k> или< 0 в тех местах, где имеются скважины добывающие или нагнетательные.

8.Система размещения скважин Рациональное размещение скв-н на площади г-носности имеет большое значение. Сетка размещения скв-н существенно влияет на все технико-экономические показатели разр-ки мест-я и обустройства промысла. Рацион-я система размещения скв-н обосновывается технико-экономическими расчетами. Существуют следующие системы размещения скв-н: 1. Равномерное размещение по квадратной или треугольной сетке.

2. Разм-е скв-н в виде кольцевых батарей или цепочек.

3. Размещение скв-н в центральной части залежи.

4. Размещение скв-н в виде кустов.

5. Неравномерное размещение скв-н.

Под равномерной сеткой понимается такая система размещения скв-н на площади газоносности, когда в пр-се разр-ки не образуется общей депрессионной воронки, т.е. Рпл вдали от каждой скв-ны примерно одинаковы и близки к среднему Рпл. Изменение дебитов г-х скв-н опр-ся изменением во времени среднего Рпл по залежи в целом. Геометрически равномерное размещение скв-н на площади газоносности удовлетворяет отмеченному условию лишь при достаточной однородности пласта по коллекторским свойствам. В случае существенной неоднородности пласта под равномерной сеткой размещения г-х скв-н можно понимать такую, при к-й приближенно выполняется соотношение:

q1/(α W1)=q2/(α W2)=…=qn/(α Wn) (1)

где qi - дебит i-й скв-ны; α Wi- газонасыщенный объем дренирования i-й скв-ны. При переменных во времени дебитах в (1) подставляются знач-я соотв-х добытых кол-в г по каждой скв-не. С вводом мест-я в разр-ку большинство разведочных скв-н переводится в добывающие. Размещение разведочных скв-н может значительно влиять на систему размещения добывающих скв-н. Необходимое число г-х скв-н для добычи г, с течением времени увеличивается. При выборе, равномерной системы размещения скв-н сетку скв-н устанавливают исходя из необходимости размещения на площади г-носности потребного проектного числа скв-н на определенный момент (на конец периода постоянной добычи г или на конец бескомпрессорного периода). Равномерное размещение скв-н рекомендуется при разр-ке мест-й в условиях ГР и однородности продуктивного пласта по коллекторским св-вам. Преимущества: большие дебиты; минимальное число необх-х скв; продолжительный период бескомпрессорной экспл-ии; увеличиваются продолжительность и эффективность работы УНТС газа; наиболия простая схема; расчеты показателей разработки просты и более разработаны. Недостатки: увеличивается протяженность г-сборных сетей и промысловых коммуникаций; вусловиях ВНР будут интенсивнее обводняться скв. и местор. Необходимость размещения скв-н цепочкой вызвана тем, что мест-е сильно вытянуто в плане. Размещение скв-н в виде цепочки исп-но также при создании и эксплуатации нек-ых подземных хранилищ г. Размещение скв-н в виде кольцевых батарей или цепочек исп-ся при проектировании систем разр-и ГКМ с ППД закачкой сухого г или воды. При размещении скв-н в виде кольцевых батарей или цепочек быстрее падают Pз, Ру и дебиты скв-н, раньше требуется ввод дополнительных скв-н для разр-и мест-я. Газосборные системы и промысловые коммуникации при рассматриваемой системе размещения отличаются компактностью. Скв-ны, подключаемые к УКПГ, размещаются на площади сравнительно небольшого радиуса. В рез-те создаются условия для безгидратной эксплуатации системы сбора г. Ускоряет освоение мест-я, сокращает капитальные вложения в систему обустройства промысла. Целесообразно размещение добывающих скв-н в наиболее продуктивных зонах мест-й (центральной, купольной). Центральная часть мест-я разбуривается кустами скв-н (в одном кусте несколько скв-н, расположенных друг от друга на расстоянии 50-70 м), расстояние м/у кустами около 1, 5 км. Продлевается период безводной эксплуатации скв-н. Нередко коллекторские свойства пласта ухудшаются к периферии мест-я. Поэтому размещение скв-н в более продуктивной части мест-я обеспечивает вначале большие дебиты. Существует оптимальная зона разбуривания, обеспечивающая наилучшие технико-экономические показатели разр-и мест-я и обустройства промысла.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.