Использование принципа суперпозиции в расчетах внедрения краевой воды в газовую залежь круговой формы.

Имеется залежь радиусом R_з, заданы Q_доб^ст(t), W_н, k, k_в – фазовая проницаемость воды в газонасыщ-й области, h, m, m_в, Р_н, Т_пл, z(P, T_пл).

Требуется рассчитать q_в(t), Q_в(t), (t), R(t).

¶²Р/¶r² +(¶Р/¶r)/r =1/c× ¶Р/¶t - линейное уравнение.

Воспользуемся принципом суперпозиции для решения линейного уравнения

Q_в(t_n)= (1)

Предположим, что на укрупненной скважине наложены n одинаковых скважин, работающие с своим дебитом Dq_вj, но разные промежутки времени. Т.о. мы можем использовать принцип наложения скважин, у каждой которой постоянный дебит, но разные по значению. Т.е. в пространстве мы имеем несколько скважин, но совмещенных вместе

P_н-Р(R_з, t)=SDP_j; j=1, n (2)

P_н-Р(R_з, t)=P_н-(m_в/(2p× k× h))× S[Dq_вj× (fo_n-fo_j-1)]; j =1, n (3)

fo_n-fo_j-1=χ (t_n-t_j-1)/R²_З

t_j-1=S Dt_j=(j-1) Dt (4)

Принимаем при t₀=0 => Dq_в0=0 (5)

Выделим из (3) последние слагаемое:

P_н-Р(R_з, t_n)=P_н-(m_в/(2pkh))× S[Dq_вj× (fo_n-fo_j-1)]-Dq_вnm_в (t_n) (fo_n-fo_n-1)) /(2pkh) (6)

q_вj=q_вj-1+Dq_вj

Теперь предположим, что все показатели процесса поступления воды ч/з стенку укрупненной скважины нам известны на момент времени t_n-1.

Требуется определить показатели на момент времени t_n-?

Q_в(t_n)=Q_в(t_n-1)+[q_в(n-1)+Dq_вn]× Dt (7)

Запишем уравнение материального баланса для ВНР с учетом (7)

(8)

Ур. (6) описывает потери давления в области м/у контуром водонапорной системы и контуром начальной газоносности.

(t)=P[R(t)] (9) – пологаем, если пласт горизонтальный. Если пласт не горизонтальный, т.е. с уклоном, то следует учитывать противодавление создаваемое поднимающейся в плате водой. При расчете потерь давления м/у контуром укрупненной скв и текущим контуром газоносности по шагам времени Dt можно воспользоваться МПССС. Для этого воспользуемся формулой Дюпюи.

Р(R_з, t)-[ (t)+r_в× g× y(t)]= (m_в/(2× p× k_в× h))×

ln[R_з/R(t)]× [q_вn-1+Dq_вn] (10)

Контур укруп.скв. не изменен во времени, контур газоносности изменяется. Приравниваем (6) и (10) уравнения и подставляем ур.(8), получим

Исключая Р из (12) с учетом (9) и (5) получим:

Р_н-(m_в/(2pkh))(× S[Dq_вj× (fo_n-fo_j-1)] -Dq_вn× (fo_n-fo_n-1))=

+

+r_в× g× y(t)+(m_в/(2pkh))× ln(R_з/R(t_n))× [q_вn-1+Dq_вn] (11)

(11) квадратное отн-но Dq_вn

Dq_в(t_n)=b/(2× a)-[(b²/(4× a²)-c/a]^0.5 (12)

а=m_вDt× (fo_n-fo_n-1) /(2× p× k× h)+(m_вDt/

(2× p× k_В× h))ln[R_з/R(t_n)])

b=Р_нDt-(Dt× q_в(t_n-1)m_в/(2× p× k_B× h))×

ln[R_з/R(t_n)]+L× m_в× (fo_n-fo_n-1)

/(2× p× k× h)-

-(Dtm_в/(2× p× k× h))× S[Dq_вj× (fo_n-fo_j-1)]+

+(L× m_в/(2× p× k_B× h))× ln[R_з/R(t_n)]- r_в× g× y(t) Dt

c=Р_н× L-(L× m_в/(2× p× k× h))× S[Dq_вj× (fo_n-fo_j-1)]-(Lq_в× m_в/(2× p× k_B× h))× ln[R_з/R(t_n)]-d-r_в× g× y(t_n)L

L= W_н-Q_в(t_n-1)-q_вn-1× Dt

d=(Р_н W_н/z_н-Р_ат× Т_пл× Q_доб^ст(t_n)/Т_ст)

В (12) входят параметры на момент времени t_n: R(t_n), y(t_n), z(t_n). Поэтому решение производят методом последовательных итераций. В 1-м приближении:

R⁽¹⁾(t_n)=R(t_n-1); y⁽¹⁾(t_n)=y(t_n-1);

z⁽¹⁾(t_n)=z(t_n-1)

Далее вычисляют коэф-ты а, b, с, но предварительно d и L и находят ⁽¹⁾(t). Поэтому давлению находят z⁽¹⁾( ⁽¹⁾) – промежуточное значение.

Чтобы уточнить R(t_n), используют соотношение

Q_B(t_n)=π [R²_з-R²(t_n)]mh( -α _ост) (13)

Из (13)определяют R⁽¹⁾(t_n).

Чтобы уточнить у⁽¹⁾(t_n) надо с помощью структурной карты и карты емкостного параметра (α mh) устанавливают зависимость у=f( Ω)

y_max=H-этаж газонос-и

Итерации ведутся до сходимости Р. Рез-ты расчетов сравнивают по давлениям: ½ Р⁽²⁾(t_n)-Р⁽¹⁾(t_n)½ £ e