Число е как предел последовательности.

Число e выражается через предел следующим образом:

Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2, 718281828... Выполнив подстановку , где , получим альтернативную формулу для данного предела:

Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу a (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела.

Вычислить предел .

Решение.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Доказать, что величины, обратные к членам бесконечно большой последовательности, составляют бесконечно малую последовательность.

Последовательность {α _n} называется бесконечно малой, если

Теорема 1: Сумма бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.

Теорема 2: Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малым.

Последовательность {β _n} называется бесконечно большой, если для любого М > 0 существует такое N, что при любом n > N |β _n| > M

()

Теорема: Величины, обратные к членам бесконечно большой последовательности, составляют бесконечно малую последовательность.

Дано:

{β _n} – бесконечно большая

последовательность Возьмем произвольное ε > 0 и воспользуемся

Доказать: определением бесконечно большой послед.:

- бесконечно малая

последовательность

8. Теорема о действиях над пределами последовательностей. Пример ее применения.