Понятие числовой функции в общем случае, пример. Понятие функции одной переменной, ее области определения и графика. Примеры.

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от x.

Обозначение: .

Функция одной переменной – всякое сопоставление (или соответствие), при котором каждому элементу из данного числового множества сопоставляется однозначное определенное число.

Рассмотрим произвольную функцию f. Так как ее значение зависит от некоторого числа x, то так же можно записывать f(x). Число x называется аргументом функции. Число y, сопоставленное числу x, называют значением функции в точке x. Область определения данной функции f можно обозначить D(f). Множество всех чисел y называют областью значений функции и обозначают E(f).

Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:

1) множество Х (область определения функции);

2) множество Y (область значений функции);

3) правило соответствия f (сама функция).

Область определения функции – множество всех значений независимой переменной, для которых определена функция (т.е. при которых функция y = f (x) вообще имеет смысл).

График функции y = f (x) – множество всех точек плоскости с координатами (x, f (x)), т.е. таких, координаты которых обращают выражение y = f (x) в тождество.

Графиком ф-ции y=f(x) назыв. мн-во всех плоскостей с коорд. (x, f(x), т.е. таких, координат. к-рых обращают выражение y=f(x) в тождество)

Свойства:

-каждая вертик. прямая пересекает график ф-ции не более чем в одной точке (осн)

-обл. определ.

-обл. знач.

-(не)чётность: функция у = f(x) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами: 1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат О; 2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(-x) = f(x).
Функция у = f(x) называется нечетной, если: 1) область определения этой функции симметрична относительно точки О; 2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(-х) = -f(x).
График четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции симметричен относительно начала координат О(0; 0). Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

-монотонность

-ограниченность

-периодичность: функция у = f(x) называется периодической, если существует такое число Т > 0, что для каждого значения х из области определения этой функции х + Т и х - Т также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x + Т) = f(x). Число Т называется периодом функции. Очевидно, что f(x + nТ) = f(x), где n Z.