Основные положения. Система работоспособна до тех пор, пока число исправных элементов не меньше n, т.е

Система работоспособна до тех пор, пока число исправных элементов не меньше n, т.е. пока . Схема функционирования такой системы представлена на рис.2, где двойными стрелками показаны перемещения исправных элементов, а одинарными - отказавших элементов. На рис. 2 обозначены интенсивности потоков отказавших и восстановленных элементов.

Здесь - интенсивность отказа элемента в рабочем (загруженном) режиме; - в режиме резервирования, - интенсивность восстановления. При этом под интенсивностью понимается число отказов (восстановлений) в единицу времени.

Нетрудно убедиться, что если систему восстановления рассматривать как систему массового обслуживания (СМО), то на рис. 1 изображена схема замкнутой СМО (с ограниченным входящим потоком требований).

В зависимости от того, какому закону распределения подчиняются случайные времена

безотказной работы основных и резервных элементов и их восстановления, эта СМО может принадлежать классу марковских или немарковских и соответственно исследоваться аналитически либо путем имитационного моделирования.

Если предположить, что все вышеперечисленные случайные величины подчинены экспоненциальному закону с параметрами соответственно, то вероятности того, что в момент t на восстановлении находится ровно k элементов, определяются из уравнений:

Эти уравнения написаны в предположении, что когда в работоспособном состоянии окажется меньше n элементов, то в системе наступает отказ и ее функционирование прекращается до тех пор, пока число исправных элементов за счет восстановления не станет снова не меньше n. При этом подразумевается также, что s< m (т.е. возможна очередь на восстановление), и если система в целом неисправна, то ее элементы уже не отказывают.

Так как множество состояний системы конечно, то при достаточно длительном функционировании ее можно рассматривать как находящуюся в режиме статистического равновесия (P_k(t)=P_k).В этом случае система уравнений (3.1) сводится к системе алгебраических уравнений:

Решение системы (3.2) имеет вид (1):

Получив решения системы (3.1) (см. работу №1) или произведя вычисления по формулам (3.3), можно на базе распределения P_k(t) или P_k находить показатели надежности системы как в нестационарном (начальном) режиме ее функционирования, так и в стационарном, т.е. в режиме длительного функционирования.

Решения, полученные на основе уравнений (3.1) или (3.2) и (3.3), относятся, как уже указывалось, к случаю, когда времена безотказной работы основных и резервных элементов, а также время их восстановления подчинены экспоненциальному распределению. Если это условие нарушено, процесс K(t) перестает быть марковским, и для изучения надежности системы в таком (произвольном) случае используется метод имитационного моделирования СМО (см. работу № 2).

Инструкцию по работе с программой и варианты заданий получить у преподавателя.

Контрольные вопросы

1. Какие изменения претерпят выражения (3.1), (3.2) и (3.3), если

· резервные элементы находятся в ненагруженном режиме (холодный резерв);

· резервные элементы находятся в нагруженном режиме (горячий резерв);

· все резервные элементы находятся в нагруженном режиме, и интенсивность отказов элементов системы линейно растет с уменьшением числа не отказавших элементов; число не отказавших элементов стало менее n и в системе наступает необратимый отказ (восстановление прекращается);

· пропускная способность системы восстановления не ограничена (m< S);

· одновременно может восстанавливаться только один элемент (S=1);

2. Почему процесс К(t) становится немарковским, если нарушен экспоненциальный характер распределения времени безотказной работы или восстановления?

3. Предложите (в рамках имитационной модели) способ учета ненадежности переключателей.

4. Нарисуйте схему, аналогичную риc. 2 при условии, что восстановленные элементы поступают на склад и оттуда по мере необходимости пополняют резервную группу (первоначальный объем склада l элементов).

5. Какому характеру отказов отвечает экспоненциальное распределение времени безотказной работы?

6. Почему отказы, связанные с износом и старением, нарушают марковость процесса, рассматриваемого в данной лабораторной работе?

7. Какие законы распределения можно предложить для описания времени безотказной работы элементов, подверженных старению или работающих на начальном периоде эксплуатации (периоде приработки)?

8. Почему использование нормального распределения для времени безотказной работы не является, строго говоря, корректным?

9. Как оценить точность результатов, полученных методом имитационного моделирования?

Работа № 4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

Цель работы - ознакомиться с методами оптимизации, приобрести практические навыки исследования эффективности и нахождения оптимальных параметров СМО.