Решение. Прежде всего, обратим внимание на систему ограничений задачи

Прежде всего, обратим внимание на систему ограничений задачи. Она задана в виде нестрогих неравенств и выделяет область решений задачи. Этой областью является сектор круга радиуса в две единицы, с центром в начале координат в первом квадранте координатной плоскости X X .

Далее определим вид целевой функции (выпуклая или вогнутая) с использованием критерия Сильвестра. Для этого найдем вторые частные производные целевой функции:

= 4 x – x – 1; = – x + 2 x – 1;

= 4; = 2; = – 1.

Матрица вторых производных имеет вид . Первый главный минор матрицы = 4 > 0. Второй главный минор

= = 7 > 0.

Оба главных минора матрицы вторых производных положительны, что свидетельствует о том, что функция выпукла в области допустимых решений задачи. В соответствии с этим определим минимум целевой функции, используя расчетную зависимость

X = X – ∙ Z(Х ).

Запишем общее выражение градиента целевой функции через первые производные

Z = (4 x – x – 1; – x + 2 x – 1).

В качестве исходной возьмем произвольную точку в области решений, например, X = (1; 1).

I шаг

X = (1; 1), Z = (4∙ 1 – 1– 1; – 1 + 2∙ 1 – 1) = (2; 0).

X = X – ∙ Z = (1; 1) – (2; 0) = (1– 2 ; 1).

Z = (4(1– 2 ) – 1– 1; –1 +2 +2∙ 1 – 1) = (2 – 8 ; 2 ).

Z ∙ Z = (2; 0)∙ (2 – 8 ; 2 ) = 4 – 16 + 0∙ 2 = 4 – 16 = 0, = .

Х = , Z = .

II шаг. Вместо Z возьмем l = (0; 1), вектор, по направлению совпадающий с направлением вектора градиента, но имеющий более простой вид для проведения вычислительных процедур (эту операцию не обязательно выполнять). Тогда

Х = X – ∙ l = (1/2; 1) – (0; 1) = (1/2; 1 – ).

Z = (4∙ 1/2 – (1 – – 1; –1/2 + 2(1 – ) – 1) = (; 1/2 – 2 ).

l ∙ Z = (0; 1)(; 1/2 – 2 ) = 0∙ +1∙ (1/2 – 2 ) = 1/2 – 2 = 0.

= 1/4.

X = (1/2; 3/4); Z = (1/4; 0).

III шаг. Возьмем l = (1; 0) вместо Z .

X = X – ∙ l = (1/2; 3/4) – (1; 0) = (1/2 – ; 3/4).

Z = (4(1/2 – ) – 3/4 – 1; – 1/2 + +2∙ 3/4 – 1) = (1/4 – 4 ; ).

l ∙ Z = 1∙ (1/4 – 4 ) + 0∙ = 1/4 – 4 = 0; = 1/16.

X = (7/16; 3/4); Z = (0; 1/16).

IV шаг. Берем l = (0; 1). Получим:

X = X – ∙ l = (7/16; 3/4) – ∙ (0; 1) = (7/16; 3/4 – ).

Z = (4∙ 7/16 – 3/4 + – 1; – 7/16 + 3/2 – 2 – 1) = (; 1/16 – 2 ).

l ∙ Z = 0∙ + 1∙ (1/16 – 2 ) = 0; = 1/32.

X = (7/16; 3/4 – ) = (7/16; 23/32) = (0, 4375; 0, 71875);

Z = (1/32; 0) = (0, 03125; 0).

V шаг. Берем l = (1; 0). Тогда:

X = X – ∙ l = (7/16; 23/32) – ∙ (1; 0) = (7/16 – ; 23/32).

Z = (7/4 – 4 – 23/32 – 1; – 7/16 + + 23/16 – 1) = (1/32 – 4 ; ).

l ∙ Z = 1∙ (1/32 – 4 ) + 0∙ = 1/32 – 4 = 0. = 1/128.

X = (55/128; 23/32) = (0, 4296875; 0, 71875).

Сравнение X и X показывает, что координаты этих точек отличаются меньше, чем на 0, 01, и поэтому последнюю точку можно считать решением задачи. Округляя, получим Х = (0, 43; 0, 72).

Замечание. При выполнении отчета по лабораторной работе необходимо включить графическую часть, в которой показать область допустимых решений задачи и изобразить точки для каждого шага решения.