Геометрия

2. Верно ли доказательство теоремы?

Теорема. Любой треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть ABC – произвольный треугольник.

1) Проведём биссектрису AA' угла A и серединный перпендикуляр DD' к стороне ВС (точка D – середина BC). Обозначим точку их пересечения через O. Из точки O опустим перпендикуляры OE и OF на стороны AB и AC соответственно (см. рис. 1).

рис. 1.

2) Рассмотрим треугольники AOE и AOF. Оба они прямоугольные, имеют общую гипотенузу OA и равные углы OAE и OAF (поскольку OA – биссектриса по построению). Значит, эти треугольники равны. Следовательно, AE=AF и OE=OF.

3) Соединим точку O с вершинами B и C. Рассмотрим треугольники OBD и OCD. Оба они прямоугольные (так как DO – серединный перпендикуляр по построению), имеют общий катет OD, а вторые их катеты равны: BD=CD, так как D – середина BC по построению. Значит, эти треугольники равны. Следовательно, BO=CO.

4) Рассмотрим треугольники OBE и OCF. Они имеют равные гипотенузы: BO=CO (см. п. 3) и пару катетов: OE=OF (см. п. 2). Значит, они равны. Следовательно, EB=FC.

5) Поскольку AE=AF (см. п. 2) и EB=FC (см. п. 4), мы получаем, что AB=AE+EB=AF+FC=AC.

Теорема доказана.

3. Две окружности Q и R пересекаются в точках А и В. Точка Р лежит на дуге окружности Q, расположенной вне окружности R. Она проектируется через точки А и В, определяя дугу CD на окружности R. Докажите, что независимо от положения точки Р на дуге, длина хорды всегда одна и та же.