Раздел 4. Может ли существовать бесконечное множество?

С четвертым [положением дело] обстоит следующим образом.     
      Возражение 1. Кажется, что актуально бесконечное множество возможно. Ведь нет ничего невозможного в том, чтобы находящееся в потенции стало актуальным. И число можно умножать до бесконечности. Отсюда следует: вполне возможно, чтобы существовало актуально бесконечное множество.
      Возражение 2. Далее, любая частная вещь, относящаяся к любому виду, может быть приведена к актуальному бытию. Но видов фигур — бесконечное множество. Выходит, нет ничего невозможного в том, чтобы существовало бесконечное множество актуальных фигур.
      Возражение 3. Кроме того, если вещи не противоположны друг другу, они друг другу и не препятствуют. Но из предположения о существовании множества вещей [отнюдь] не следует, что нет множества других [вещей], которые [вовсе] не противоположны этим. Следовательно, те другие вполне могут сосуществовать с этими, и так далее до бесконечности. Из этого ясно, что актуально бесконечное число вещей возможно.
Этому противоречит сказанное [в Писании]: «Ты все расположил мерою, числом и весом» (      Прем. 11: 21).
      Отвечаю: на этот вопрос существуют две точки зрения. Некоторые, например Авиценна и Газали, полагали, что безусловное существование актуально бесконечного множества невозможно, но случайное бесконечное множество — допустимо. Множество, говорили [они], бесконечно безусловным образом тогда, когда бесконечное множество необходимо для существования чего-то еще. А этого-то как раз и не может быть, поскольку тогда бы было необходимым существование чего-то, чье бытие зависело бы от бесконечности; но в таком случае его возникновение никогда бы не произошло, ибо невозможно произойти от бесконечного количества следствий.
Случайное же бесконечное множество, говорят, это такое [бесконечное множество], существование которого не необходимо, а случайно. Это можно проиллюстрировать на примере работы плотника, предполагающей [наличие] некоторого абсолютного множества, а именно: [плотницкого] искусства в душе [плотника], движений руки, молотка [и т. п.]; если бы все это было повторено бесконечное число раз, плотник никогда бы не прекратил своей работы, поскольку она проистекала бы от бесконечного количества причин. Но множество молотков, коль скоро один может быть поврежден и заменен другим, является случайным множеством; ведь это происходит случайно, что используются несколько молотков, и это не так уж и важно, один ли, два, или гораздо больше, или даже бесконечное число, если работа продолжается бесконечно долго. Таким-то образом, говорят, и может получиться случайное бесконечное множество.     
Это, однако, невозможно; ведь каждое [отдельное] множество принадлежит к какому-либо из видов множеств. Затем, виды множеств должны соотноситься с видами чисел. Но виды чисел не бесконечны: каждое число единственно в своем виде. Следовательно, здесь невозможно ни безусловное, ни случайное актуально бесконечное множество. То же можно сказать и о множествах в природ      е сотворенного; все сотворенное суть [следствие] чистого акта Творца, ибо ни один действователь не действует бесцельно. Таким образом, все тварное постигается через определенное число. Выходит, существование актуально бесконечного множества, даже случайного, невозможно. Но потенциально бесконечное множество возможно, поскольку увеличение множества есть следствие деления величины: чем больше производится делений, тем большее число вещей образуется как результат [этой операции]¹³⁴. Следовательно, коль скоро бесконечность может быть задана потенциально как результат деления непрерывной величины, то [значит, здесь] речь идет о материи, как это было показано в предыдущем разделе; в том же смысле бесконечность может быть потенциально задана и через приращение множества.
      Ответ на возражение 1. Все потенциальное приводится к актуальности согласно модусу [своего] бытия; например, день настает постепенно, а не вдруг. Так и к бесконечности множество движется [в результате] последовательных операций, а не [приходит] внезапно; так происходит потому, что каждое множество может сменяться другим множеством до бесконечности.
      Ответ на возражение 2. Множество видов (идей) фигур бесконечно в смысле их [потенциально] бесконечно большого числа. Так, например, существуют идеи трехсторонних, четырехсторонних и так далее фигур; но как бесконечно счислимое множество в одно мгновение не приводится к действительности, также обстоит дело и с множеством фигур.
      Ответ на возражение 3. Хотя предположение [о существовании] иных вещей не препятствует предположению [о существовании] других, однако предположение [о существовании] бесконечного числа противоположно по отношению к любому из видов множеств. Поэтому невозможно, чтобы существовало актуально бесконечное множество.

¹²³Phys. I.     

¹²⁴De Fide Orth. I, 4.     

¹²⁵Phys. Ill, 4.     

¹²⁶Прежде всего, благодаря столярному искусству.     

¹²⁷Phys. Il, 2. Ср.: «...он (математик) и отделяет их (фигуры) [от природных тел], ибо мысленно они отделимы от движения [этих тел] и это [отделение] ничего не меняет и не порождает ошибок».     

¹²⁸." Бесконечное, следовательно, существует как свойство» (Phys. Ill, 5).     

¹²⁹«Так как движущееся движется от чего-нибудь к чему-нибудь и всякая величина непрерывна, то движение следует за величиной: вследствие непрерывности величины непрерывно и движение, а вследствие движения — время; ибо сколь велико [было] движение, столько, как нам всегда кажется, протекло и времени» (Phys. IV, 11).     

¹³⁰Ср.: «Наше рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного в отношении увеличения, как не проходимого до конца, не отнимает у математиков их исследования; ведь они теперь не нуждаются в таком бесконечном и не пользуются им: [математикам] надо только, чтобы ограниченная линия была такой величины, как им желательно, а в том же отношении, в каком делится самая большая величина, можно разделить какую угодно другую. Таким образом, для доказательств бесконечное не принесет им никакой пользы, а бытие будет найдено в [реально] существующих величинах» (Phys. Ill, 7).     

¹³¹Довольно туманный пример. Скорее всего, так как во времена Фомы «кубом» обычно называли тысячу, речь идет об «очень большом» количестве фигур (тысяче в квадрате, т. е. миллионе, и тысяче в кубе, т. е. миллиарде). В самом деле, ни представить, ни тем более пересчитать такое множество фигур невозможно, но все же это — вполне конечное количество, и сколько бы мы его не увеличивали, никакой бесконечности не получится.     

¹³²Ср.: «Надо признать основательным, что бесконечное путем прибавления не представляется таким, чтобы оно превосходило всякую величину, а бесконечное при делении именно таково; ведь бесконечное охватывается как материя, лежащая внутри, охватывает же его форма» (Phys. Ill, 7).     

¹³³Ср.: «Бесконечное величины, движения и времени не тождественны, как какая-нибудь одна природа, но определяются как последующее по отношению к предыдущему» (Phys. Ill, 7).     

¹³⁴Яркий пример — популярная в средние века задача о квадратуре круга: площадь круга вычисляется через площадь вписанного в него квадрата. Посредством деления сторон квадрата пополам и восстановления через точки деления перпендикуляров (или, проще говоря, «вращения») удваивается число точек касания с окружностью, и в нее вписывается правильный восьмиугольник. Многократное («стремящееся к бесконечности») повторение этой операции приводит к тому, что в круг оказывается вписанным правильный многоугольник с длиной стороны, стремящейся к нулю, и числом сторон, стремящимся к бесконечности. При этом площадь такого многоугольника в пределе равна площади круга. Решение этой задачи положило начало дифференциальному счислению.