Основные задачи.

1. Числовой прямой или числовой осью называется

2. Декартовой системой координат называются

Горизонтальная ось называется

Вертикальная ось называется

3. Координатами точки M на плоскости называется

4. Расстояние между двумя точками плоскости A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) находится по формуле

5. Найдите расстояние между точками:

а) A(3; 5), B(7; 5);

б) A(-4; 1), B(0; 2);

в) A(6; -2), B(-6; 8);

6. Теорема (деление отрезка в данном отношении). Приведите формулировку теоремы.

7. Если точка С (x₀; y₀) делит отрезок AB, A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) пополам, то координаты точки С находятся по формуле

8. Точка С (x₀; y₀) делит отрезок AB пополам, то координаты точки С, если:

а) A(-5; 2), B(3; 4);

б) A(8; -1), B(3; 6);

в) A(0; 4), B(-2; 7);

9. Отрезок AB, A(-4; 5), B(0; 3) разделён на три равные части точками

C и D. Найдите координаты: а) точки C; б) точки D.

а)

б)

10. Отрезок AB, A(2; 7), B(-3; 6) разделён на четыре равные части точками

C, D, F. Найдите координаты:

а) точки C;

б) точки D;

в) точки F;

11. Углом наклона прямой l к оси ox называется

Обозначается

12. Угловым коэффициентом называется

Обозначается

13. Определите углы наклона следующих прямых:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

14. Теорема. Если прямая l не параллельна оси oy и на этой прямой заданы

две точки A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), то угловой коэффициентов прямой находится

по формуле

15. Найдите угловые коэффициенты прямых, если известно, что прямые

проходят через точки.

а) A(-5; 3), B(-1; 7);

б) A(8; 0), B(-4; 5);

в) A(0; 6), B(3; 4);

г) A(-2; 7), B(0; -3);

16. Напишите:

а) уравнение прямой с угловым коэффициентом

б) общее уравнение прямой

в) уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении

г) уравнение прямой, проходящей через две данные точки

д) уравнение прямой «в отрезках на осях»

е) нормальное уравнение прямой

17. Углом между двумя прямыми l₁ и l₂ называется

18. Найдите угол между прямыми ,

19. Теорема (условие параллельности двух прямых). Приведите формулировку теоремы.

20. Теорема (условие перпендикулярности двух прямых). Приведите формулировку теоремы.

21. Напишите прямых l₁ и l₂, заданных своими общими уравнениями.

а)

б)

22. Укажите параллельные прямые:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

23. Укажите перпендикулярные прямые:

а) , ;

б) , .

в) , ;

г) , .

24. Составление уравнения прямой, если известно, что:

а) прямая проходит через точку A(0; 3) параллельно оси ox;

б) прямая проходит через точку A(-4; 0) перпендикулярно оси ox;

в) прямая проходит через точку A(-3; 5) параллельно биссектрисе первого и третьего координатных углов;

г) прямая проходит через точку A(2; -1) перпендикулярно биссектрисе второго и четвёртого координатных углов;

д) прямая проходит через точку A(-4; 0) параллельно ;

е) прямая проходит через точку A(2; -5) перпендикулярно

25. Отрезок AB, A(-2; 3), B(1; -5) разделён на четыре равные части точками

C, D, E. Найдите уравнение прямых, проходящих через точки деления, перпендикулярно AB.

26. Отрезок AB, A(4; -3), B(0; 1) разделён на три равные части точками

C, D. Найдите уравнение прямых, проходящих через точки деления, перпендикулярно AB.

27. При каком значении параметра a прямые

и перпендикулярны?

28. При каком значении параметра a прямые и параллельны?

29. Расстояние от точки C (x₀; y₀) до прямой l∶ Ax+By+C=0 находится по формуле

30. Найдите расстояние от точки C до прямой Ax+By+C=0, если:

а) C(-4; 5),

б) C(0; 7),

в) C(-2; 6),

31. Треугольник задан вершинами:

а) A(-1; 1), B(6; 4), C(3; -2); б) A(-1; 1), B(6; 4), C(3; -2);

в) A(-2; 1), B(7; 4), C(-6; 2);

Постройте треугольник.

Найдите:

а) длины сторон; б) уравнение сторон;

в) уравнение медиан; г) внутренние углы треугольника

д) длины медиан; е) длины высот;

ж) точку пересечения высот треугольника;

з) точку пересечения медиан треугольника;

и) площадь треугольника.

32. Проверьте, что точки A(-2; -2), B(3; -1), C(7; 7), D(3; 1); являются вершинами трапеции, и составьте уравнения средней линии и диагоналей трапеции.

33. Найдите ординату точки C(5; y), если известно, что прямая AB,

A(-2; -2), B(3; -1) проходит через эту точку.

34. Даны две точки A(-3; 1), B(3; -7). На оси ординат найдите такую точку M, что бы прямые AM и MB были перпендикулярны.

35. Диагонали ромба, равны 10 и 4 единицам длины, приняты за оси координат. Напишите уравнения сторон ромба.

36. Найдите величины отрезков, отсекаемых на осях координат прямыми:

а)

б)

в)

г)

37. Даны уравнения сторон треугольника: ,

, . Найдите координаты его вершин.

38. Даны вершины четырёхугольника: A(-9; 0), B(-3; 6), C(3; 4), D(6; -3).

Найдите точку пресечения его диагоналей AC и BD и найдите угол между ними.

39. Найдите координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: 2 , , и уравнение одной из его диагоналей .

40. Даны уравнение двух смежных сторон параллелограмма:

, и точка пересечения его диагоналей M(3; -1).

Напишите уравнения двух других сторон параллелограмма.

Кривые второго порядка.

Окружность, эллипс, гипербола и парабола.

1. Общим уравнением второго порядка называется уравнение вида

2. Укажите условия, при которых уравнение

,

является уравнением:

а) эллиптического типа;

б) гиперболического типа;

в) параболического типа.

3. Напишите:

а)каноническое уравнение окружности; б)нормальное уравнение окружности. Объясните смысл обозначений.

а)

б)

4. Напишите уравнение окружности, центр которой находится в точке

C(a; b) и радиус равен R:

а)

б)

в)

в)

5. Окружность задана уравнением. Определите координаты центра и радиус окружности:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

6. Напишите уравнение окружности, диаметр которой:

а) , A(0; -2), B(0; 2);

б) , A(1; -4), B(3; 6);

7. Эллипсом называется

8. Напишите каноническое уравнение эллипса. Объясните смысл букв.

9. Определите длины полуосей эллипса, заданного своим каноническим уравнением:

а) ;

б) .

10. Вершина эллипса называются

11. Дано уравнение эллипса. Определите координаты его вершин:

а) ;

б) ;

в) .

12. Напишите каноническое уравнение эллипса, если известны координаты двух его вершин:

а) A₂(9; 0), B₂(0; 4);

б) A₁(-7; 0), B₁(0; -5).

13. Напишите каноническое уравнение эллипса, если известны:

а) длины его большой и малой полуосей 6, 2;

б) длины его большой и малой осей 18, 10.

14. Гиперболой называется

15. Напишите каноническое уравнение гиперболы. Объясните смысл обозначений.

16. Найдите координаты вершин гиперболы, заданной своими каноническим уравнением:

а) ;

б) ;

17. Напишите уравнение осей симметрии гиперболы, заданной уравнением .

18. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если известны:

а) длины его действительной и мнимой полуосей 5, 2;

б) длины его действительной и мнимой осей 12, 8.

19. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если известны координаты её вершины A(12; 0) и расстояние между фокусами 26.

20. Дано уравнение гиперболы . Определите координаты фокусов гиперболы.

21. Дано уравнение гиперболы . Напишите уравнения её асимптот.

22. Известны координаты вершины и фокуса гиперболы A₁(12; 0), F₁(13; 0).

Напишите каноническое уравнение гиперболы.

23. Параболой называется

24. Напишите каноническое уравнение параболы, осью симметрии которой является:

а) ось ox;

б) ось oy;

25. Напишите уравнение директрисы и оси симметрии параболы, определите координаты фокуса, если:

а) ;

б)) ;

в) ;

г) ;

26. Найдите точки пересечения параболы с прямой .

27. Дано уравнение параболы. Определите координаты вершины и фокуса параболы.

а) ;

б) .