Преобразования Лоренца. Пусть нам даны две системы отсчета k и k`

Пусть нам даны две системы отсчета k и k`. В момент t = О обе эти системы координат совпадают. Пусть система k` (назовем ее подвижной) движется так, что ось х` скользит по оси х, ось у` параллельна оси у, скорость v - скорость движения этой системы координат (рис. 109).

Точка М имеет координаты в системе k - х, у, z, a в системе k` - х`, у`, z`.

Преобразования Галилея в классической механике имеют вид:

Преобразования координат, удовлетворяющие постулатам специальной теории относительности, называются преобразованиями Лоренца.

Впервые они (в несколько иной форме) были предложены Лоренцем для объяснения отрицательного эксперимента Майкельсона-Морли и для придания уравнениям Максвелла одинакового вида во всех инерциальных системах отсчета.

Эйнштейн вывел их независимо на основе своей теории относительности. Подчеркнем, что изменилась (по сравнению с преобразованием Галилея) не только формула преобразования координаты х, но и формула преобразований времени t. Из последней формулы непосредственно видно, как переплетены пространственная и временная координаты.

Интервал и его инвариантность.

Преобразования Лоренца. Инвариантность интервала при этих преобразованиях. Собственное время. Собственная длинна.

Преобразования Лоренца обоснованы на принципе относительности (Утверждение впервые высказанное Г. Галилеем, о том, что во всех инерциальных системах координат механические явления протекают одиноково, называется принципом относительности Галилея. В дальнейшем в результате изучений других явлеий, в частности электромагнитных, справедливость этих полоений была признана для любых явлений. В таком общем виде оно называется принципом отнгсительности СТО или просто принципом относиельности) и принципа постоянства скорости света (независимость скорости света от скорости источника и скорости наблюдателя. Это постулат).

Однородность пространства: начало системы координат может быть помещено в любой точке и все геометрические соотношения между любыми геометрическими обьектами при этом совершенно одинаковы с теми, которые получаются при помещении начала координат в любую другую точку.

Изотропность пространтва: в каждой точке пространства можно ориентировать оси СК произвольным образом. При этом соотношения между геометрическими обьектами не имменются.

Однородность и изотропность времени является его главными свойствами в ИСО.

Однородность времени: это одиноковость развития и изменения данной физической ситуации независимо от того, в какой момент эта ситуюция сложилась.

Из однородности пространства и времени следует, что преобразования должны быть линейными. x? =Ф1(x, y, z, t),

y? =Ф(x, y, z, t),

z? =Ф3(x, y, z, t),

t? =Ф4(x, y, z, t).

Изходя из изотропности и однородности пространтва, мы можем как угодно поварачивать и смещать оси СК. ориентируем оси так:

Начало координат: Пусть в t=0 x=y=z=0 совпадает с x? =y? =z? =0, тогда А5=0

y? = a1x + a2y + a3z + a4t;

z? = b1x + b2y + b3z + b4t;

Т.к. оси Y, Y? и Z, Z? параллельны след: y=0 y? =0, z=0 z? =0

0 = a1x + a3z + A4t;

0 = b1x + b2y + b4t; что возможно лиш при а1=а3=а4=0

0=в1=в3=в4 След. y? =ay и z? =az

y=y? /a z=z? /a так как масштаб в С.К. изменятся одинаково, значит а=1/а, значит а=1.

Следовательно y? =y; z=z?.

Преобразования для x и t: Вследствие линейности преобразований:

x? =? (x? vt)? x=?? (x? +vt)

Докажем, что?? =?. Пусть некоторый стержей покоится в системе К?: x2?? x1? =l. В системе К он движется? x1? =? (x1? vt0), x2? =? (x2? vt0)? x2? x1=(x1?? x2?)/? =l/?..

Пусть теперь тот же стержень в системе К и имеет в ней длину l.? x2? x1=l. В системе К?, принятой за неподвижную, этот стержень двигается с v.? x1=?? (x1? +v0 t?), x2=?? (x2? +v0 t?)

? x2?? x1? =(x2? x1)/??. Согласно принципу относительности обе системы равноправны и длинна одного и того же стержня, движущегося в этих системах с одинаковой скоротью, должна быть обнакова??? =?. Воспользуемся постулатом скорости света: x? =ct?, x=ct.?

ct? =? t(c? v), ct=? t? (c+v)?? =? vt? =(x/?)? x? =(x/a)?? (x? vt)=? vt+x((1/?)??)? t? =, x? =, y=y?, z=z?. Обратные реобразования получаются заменой штрухованных элементов на нештрихованные и измененим знака скорости.

Инвариантом преобразований Лоренца явл. пространтвенно-временной интревал или просто интервал. Интервалом между точками (x1, y1, z1, t1) и (x2, y2, z2, t2) наз. величина

s=(x1? x2)2+(y1? y2)2+(z1? z2)2? c2(t1? t2)2

? эта величина имеет во всех СК одно и то же значения, т. е. явл. инвариантом преобразобаний Лоренца.

s2> 0? интервал пространственноподобный.

s2> 0? интервал времениподобный.

s2=0? интервал нулевой (такой интервал? существуе между событиями, которые могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью света).

Время, которое измеряется по часам, связанным с движущейся точкой, наз. собственным временем этой точки.

Длинна, которая измеряется прибором, связанным с движущимся стержнем, наз. абсолютной длинной.

37. Закон сложения скоростей.

Скорости движения тела в различных системах отсчёта связывает между собой классический закон сложения скоростей.

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта равна сумме скоростей тела в подвижной системе отсчёта и самой подвижной системы отсчёта относительно неподвижной.

Например, пассажирский поезд движется по железной дороге со скоростью 60 км/ч. По вагону этого поезда идет человек со скоростью 5 км/ч. Если считать железную дорогу неподвижной и принять её за систему отсчёта, то скорость человека относительно системы отсчёта (то есть относительно железной дороги), будет равна сложению скоростей поезда и человека, то есть

60 + 5 = 65, если человек идёт в том же направлении, что и поезд и 60 – 5 = 55, если человек и поезд движутся в разных направлениях. Однако это справедливо только в том случае, если человек и поезд движутся по одной линии. Если же человек будет двигаться под углом, то придётся учитывать этот угол, вспомнив о том, что скорость – это векторная величина.