Коэффициент динамичности и график его зависимости от отношения p/k.

Отношение амплитуды вынужденных колебаний A к статическому смещению A ₀ называется коэффициентом динамичности

.

График зависимости показывает, что при увеличении частоты возмущающей силы от p = 0 до p = k коэффициент динамичности растет от единицы до бесконечности, а при дальнейшем увеличении p до бесконечности коэффициент динамичности убывает от бесконечности до нуля.

Вынужденные колебания при наличии вязкого трения: , , общее решение в зависимости от величины k и n:

1) при n< k ;

2) при n> k ;

3) при n=k .

Общие теоремы динамики точки. Теорема об изменении количества движения материальной точки. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Работа силы. Мощность. Теорема об изменении кинетической энергии точки. Потенциальная энергия

Теорема об изменении количества движения матер. точки. – количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. – элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке (теорема в дифференц-ной форме) или – производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Проинтегрируем: – изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке, за тот же промежуток времени. – импульс силы за промежуток времени [0, t]. В проекциях на оси координат: и т.д.

Теорема об изменении момента количества движения матер. точки. - момент количества движения матер. точки относительно центра О. – производная по времени от момента количества движения матер. точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке, относительно того же центра. Проектируя векторное равенство на оси координат. получаем три скалярных уравнения: и т.д. - производная от момента кол-ва движения матер. точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, приложенной к точке, относительно той же оси. При действии центральной силы, проходящей через О, М_О= 0, отсюда =const. =const, где – секторная скорость. Под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью, т.е. радиус-вектор точки описывает (" ометает") равные площади в любые равные промежутки времени (закон площадей) Этот закон имеет место при движении планет и спутников – один из законов Кеплера.

Работа силы. Элементарная работа , – проекция силы на касательную к траектории, направленная в сторону перемещения, или .

Если – острый, то dA > 0, тупой – < 0, a=90^o: dA =0. – скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения; – аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁: . Если сила постоянна, то . Единицы работы: [1 Дж (джоуль) = 1 Нм].

, т.к. и т.д., то .

Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении .

Работа силы тяжести: , > 0, если начальная точка выше конечной.

Работа силы упругости: – работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.

Работа силы трения: если сила трения const, то - всегда отрицательна, , f – коэфф.трения, N – нормальная реакция поверхности.

Работа силы тяготения. Сила притяжения (тяготения): , из , находим коэфф. . – не зависит от траектории.

Мощность – величина, определяющая работу в единицу времени, . Если изменение работы происходит равномерно, то мощность постоянна: N=A/t. [ 1 Вт (ватт) =1 Дж/с, 1 кВт (киловатт) = 1000 Вт, 1л.с. (лошадиная сила) = 75 кгс× м/с = 736 Вт].

Теорема об изменении кинетической энергии точки. В дифференциальной форме: – полный дифференциал кинетической энергии мат.точки = элементарной работе всех действующих на точку сил. – кинетическая энергия материальной точки. В конечном виде: – изменение кинетической энергии мат. точки, при переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.

Силовое поле – область, в каждой точке которой на помещенную в ней материальную точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени, т.е. должно быть известна . Нестационарное силовое поле, если явно зависит от t, стационарное силовое поле, если сила не зависит от времени. Рассматриваются стационарные силовые поля, когда сила зависит только от положения точки: и и т.д.

Свойства стационарных силовых полей:

Работа сил стац. поля зависит в общем случае от начального М ₁ и конечного М ₂ положений и траектории, но не зависит от закона движения матер. точки.

Имеет место равенство А _{2, 1}= – А _{1, 2}. Для нестационарных полей эти свойства на выполняются.

Примеры: поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости.

Стационарные силовые поля, работа сил которых не зависит от траектории (пути) движения матер. точки и определяется только ее начальным и конечным положениями назыв. потенциальными (консервативными). , где I и II – любые пути, – общее значение работы. В потенциальных силовых полях существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так:

. Функция U=U(x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂, …x_n, y_n, z_n) назыв. силовой функцией. Элементарная работа сил поля: . Если силовое поле является потенц-ным, элементарная работа сил в этом поле равна полному дифференциалу силовой функции. Работа сил на конечном перемещении , т.е. работа сил в потенц-ном поле равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях и не зависит о формы траектории. На замкнутом перемещении работа равна 0.

Потенциальная энергия П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. В нулевом положении П₀= 0. П=П(x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂, …x_n, y_n, z_n). Работа сил поля на перемещении системы из 1-го положения во 2-ое равна разности потенциальных энергий .

Эквипотенциальные поверхности – поверхности равного потенциала. Сила направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности. Потенциальная энергия системы отличается от силовой функции, взятой со знаком минус, на постоянную величину U₀: А_{1, 0}= П =U₀ – U. Потенциальная энергия поля силы тяжести: .

Центральная сила – сила, которая в любой точке пространства направлена по прямой, проходящей через некоторую точку (центр), и модуль ее зависит только от расстояния r точки массой m до центра: , . Центральной является гравитационная сила ,

, f = 6, 67× 10^-11м³/(кгс²) – постоянная тяготения.

Первая космическая скорость v₁= , R = 6, 37× 10⁶м – радиус Земли; тело выходит на круговую орбиту.

Вторая космическая скорость: , траектория тела парабола, при – гипербола.

Потенц. энергия восстанавливающей силы пружин: , где – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: , где и – деформации, соответствующие начальной и конечной точкам пути.