Порядок исследования состояния покоя механической системы на устойчивость.

Выбирается обобщенная координата. Записывается потенциальная энергия как функция обобщенной координаты. Находится первая и вторая производные по обобщенным координатам и выясняется, имеет ли потенциальная энергия в заданном положении минимум.

Колебательное движение материальной точки. Восстанавливающая сила (сила упругости) , сила стремится вернуть точку в равновесное положение, " с" – коэффициент жесткости пружины = силе упругости при деформации, равной единице [Н/м].

Свободные колебания ; обозначив , получаем – линейное однородное диффер-ное уравнение второго порядка, характеристическое уравнение: , его корни мнимые, отсюда общее решение дифф-ного уравнения будет , C ₁, C ₂ – постоянные интегрирования. Для их определения находим уравнение скоростей: , подставляем начальные условия в уравнения для х и , откуда , , т.е. .

Можно обозначить , отсюда – уравнение гармонических колебаний. –амплитуда, , – начальная фаза свободных колебаний; – циклическая частота (угловая, собственная) колебаний; период колебаний: , где k и Т не зависят от начальных условий – изохронность колебаний; амплитуда и начальная фаза зависят о начальных условий. Под действием постоянной силы Р происходит смещение центра колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения . Если Р – сила тяжести, то .

Затухающие колебания при действии сила сопротивления, пропорциональная скорости (вязкое трение). , обозначив , получаем:

, характеристическое уравнение: , его корни: . а) При n< k корни мнимые, отсюда общее решение дифф.ур-ия имеет вид: , обозначив , имеем . Множитель показывает, что колебания затухающие. График заключен между двумя симметричными относительно оси t кривыми . Из начальных условий: , ; частота затухающих колебаний: ; период: , период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний (при небольших сопротивлениях ). Амплитуды колебаний уменьшаются: – декремент колебаний; логарифмический декремент; " n" – коэффициент затухания.

Апериодическое движение точки при или . При корни характеристич-ого ур-я вещественны, общее решение: , обозначая , , (ch, sh – гиперболические косинус и синус), если ввести , , то – это уравнение не колебательного движения (апериодического), т.к. гиперболический синус не является периодической функцией. При корни характеристич. ур-я вещественны, равны и отрицательны: , общее решение: , или , движение также апериодическое.

Вынужденные колебания кроме восстанавливающей силы действует переменная возмущающая сила, обычно, по гармоническому закону: , р – частота возмущающей силы, – начальная фаза. , , – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (неоднородное линейное дифф-ное ур-ие). Его общее решение = сумме общего решения однородного уравнения и частного решения данного уравнения: , где , – частное решение ищется в виде подобном правой части уравнения. Подставляя решение в уравнение, находим , . Величина статического отклонения: , – коэфф-нт динамичности, во сколько раз амплитуда колебаний превосходит статическое отклонение.