Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь

Метод Гауса (метод послідовного виключення невідомих) ґрунтується на елементарних перетвореннях системи лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких належать:

1. переставляння двох рівнянь місцями;

2. множення обох частин одного з рівнянь системи на одне й те саме число, відмінне від нуля;

3. додавання до обох частин якого – небудь рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на довільне число;

4. вилучення із системи рівняння, що є тотожністю.

Загальна ідея методу Гауса полягає в тому, що з допомогою елементарних перетворень (при виключенні невідомого з усіх рівнянь, починаючи з другого, - з усіх рівнянь, починаючи з третього і т.д.) система зводиться до трикутного вигляду:

З одержаної системи послідовно, починаючи з останньої за номером невідомої, рухаючись знизу вгору, знаходять всі інші невідомі.

Часто на практиці замість перетворень над системою виконують відповідні перетворення над розширеною матрицею системи.

Алгоритм методу Гауса:

1. скласти розширену матрицю системи;

2. зробити так, щоб коефіцієнт . Для цього можна поміняти

рядки місцями, або поділити перший рядок на ;

3. в першому стовпці під коефіцієнтом 1 зробити всі нулі. Для цього помножити перший рядок послідовно на і додати відповідно до другого, третього,..., m-го рядків;

4. зробити так, щоб коефіцієнт , а під ним були нулі;

5. описані дії повторити для всіх діагональних елементів (з однаковими індексами);

6. знайти ранги основної і розширеної матриці системи.

7. за останньою матрицею скласти систему лінійних рівнянь та дослідити її:

а) якщо ранги основної і розширеної матриці не рівні, то система розв’язків не має;

b) якщо ранги основної і розширеної матриці рівні та ранг

системи дорівнює кількості невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Його шукають так: з одержаної системи послідовно, починаючи з останньої за номером невідомої, рухаючись знизу вгору, знаходять всі інші невідомі.

с) якщо ранги співпадають, але ранг системи s менший, ніж кількість невідомих n, то ця система невизначена. Розв’язки її шукають так: перші s невідомих які називаються базисними визначають через інші невідомі ..., які називаються вільними.