Бесконечно малые величины и их сравнение

Функция называется бесконечно малой при (или ), если (или ). Так как , то при -бесконечно малая. Однако не является бесконечно малой при , так как Одна и та же функция может быть бесконечно малой или не быть в зависимости от предельного значения x₀. Есть функции, например, x²+1, которые не могут быть бесконечно малыми ни при каких условиях.

ТЕОРЕМА 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

ТЕОРЕМА 2. Произведение бесконечно малой в точке = функции на ограниченную в этой точке функцию есть функция бесконечно малая.

ТЕОРЕМА 3. Если — бесконечно малая в точке = и не обращается в нуль в некоторой окрестности этой точки, то = – бесконечно большая функция в этой точке.

Лемма. Для того, чтобы число было пределом функции в точке = , необходимо и достаточно, чтобы разность – была бесконечно малой в этой точке.

Пусть и – бесконечно малые функции в точке .

Определение 1. Если = 0, то функцию называют бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с и пишут = o() при ® .

Определение 2. Если = c ¹ 0, то и называют бесконечно малыми одного порядка малости и пишут = O() при ® . В частности, если = c ¹ 0, то говорят, что имеет k-й порядок малости по сравнению с при ® . Действительное число k называют порядком малости, а сравнивают чаще всего с функцией = – .