Типовые примеры. 1) ►Надо доказать, что для , для которых , выполняется неравенство для

Доказать (найти , что:

1) , 2) .

1) ► Надо доказать, что для , для которых , выполняется неравенство для . Имеем:

Примем . Тогда . Итак, для такое, что для , для которых .◄

2) ► Пусть , . Тогда . Здесь в числителе пользуемся неравенством а в знаменателе пользуемся неравенством . Пусть . Тогда . Итак, для такое, что неравенство выполняется для всех x, для которых .◄

Число A называют пределом функции в точке слева (справа) и пишут или , или , если для любого найдется такое, что для (для ) справедливо неравенство . Число A является пределом в точке , если совпадают пределы в этой точке слева и справа: .

Если функция определена в интервале (в интервале ) и для любого M существует такое, что для любого (для любого справедливо неравенство , то говорят, что левый (правый) предел функции в точке равен , и при этом пишут или или Аналогично определяются и .

Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если , , то

1)

2)

3)

4)

(последнее при ). То же верно для односторонних пределов.

Имеют место равенства

, ,

называемые первым и вторым замечательными пределами. Можно доказать, что

1) = e, 4) = ,

2) = , 5) = 1,

3) = 1, 6) = .

Заметим, что если то в указанных равенствах можно заменить x на

Например,

При нахождении пределов вида следует иметь в виду, что:

1)если существуют конечные пределы и , то ;

2)если и , то вопрос о нахождении данного предела решается непосредственно, при этом помним, что и ;

3)если и , то полагают , где при и, следовательно, , где .