Інтерполяційний многочлен Лагранжа та його залишковий член.

Постановка задачі.

Найпростіша задача інтерполювання виглядає так. На відрізку [a, b] у точках х₀, х₁, …х_n, де a≤ х₀< x₁< …< x_n≤ b, задані значення деякої функції f(x):

f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁, …, f(y_n)=y_n.

Треба побудувати функцію F(x), яка належить до визначеного класу і в точках х₀, x₁, …, x_n набуває таких значень, що й f(x), тобто F(x₀)=y₀, F(x₁)=y₁, …, F(x_n)=y_n.

Точки х₀, x₁, …, x_n прийнято називати вузлами інтерполювання, а функцію F(x) – інтерполяційною функцією.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа та його залишковий член.

Нехай f(x) є R і х₀, x₁, …, x_n (х_і є [a, b], при i ≠ j) – вузли інтерполювання. Побудуємо інтерполяційний многочлен φ (x), де за систему лінійно незалежних функцій {φ (x)} виберемо систему:

φ ₀(x)=1, φ ₁(x)=х, φ ₂(x)=х², φ _n(х)=хⁿ. Запишемо φ (х) у вигляді φ (х)= f(x_i)Ф_ni(x), де Ф_ni(x) – у цьому випадку многочлени степеня n, які задовольняють умову: 1, якщо і=j,

Ф_ni(x) =

0, якщо і≠ j.

Ці многочлени можна відшукати, розв’язавши систему рівнянь α _іφ _і(x_j)=f(x_j) (j=0, 1, …, n).

Однак їх можна визначити і не розв’язуючи системи рівнянь. Позаяк Ф_ni(x) є многочленом степеня n, котрий набуває значення нуль у точках х₀, x₁, …, х_і–1, х_і+1, …, x_n і дорівнює одиниці в точці х_і, то

. З умови Ф_ni(x_і)=1 одержуємо, що . Тому

. Отже, шуканий інтерполяційний многочлен, який позначимо через L_n(x), має такий вигляд:

і називається інтерполяційним многочленом Лагранжа, а многочлени Ф_ni(x_і) – фундаментальними многочленами.

Многочлен Лагранжа збігається з функцією f(x) у вузлах інтерполювання. В інших точках [a, b] маємо наближену рівність f(x)=L_n(x). Різниця R_n+1(x)=f(x)–L_n(x) називається залишковим членом інтерполяційного многочлена Лагранжа.

Для обчислення функції f(x) в точці 2, 7 напишемо програму (додаток 1 мал.2).