Закон сохранения импульса. Центр инерции. Движение центра инерции. Связь закона сохранения импульса с принципом относительности Галилея

Второй закон Ньютона можно переписать в таком виде:

(1)

где мы ввели величину

называемую в физике импульсом. При этом мы предполагали, что масса частицы m от скоpости (а значит и от времени) не зависит:

(3)

А если зависит? В какой форме справедлив второй закон Ньютона, описывающий движение pелятивистских частиц? Ответ:

(4)

Таким образом, импульс — это более фундаментальная физическая величина, чем скорость. Это становится отчетливо видно на примере движения системы, состоящей из материальных точек.

Рассмотрим, например, свободное движение двух тел с массами m ₁ и m ₂, связанных друг с другом пружинкой, которую для простоты мы будем считать невесомой (pис. 1).

Рис. 1. Свободное движение двух тел, связанных пpужинкой.

На эту систему не действуют внешние силы, поэтому, согласно первому закону Ньютона, система должна либо находиться в покое, либо двигаться с постоянной по величине и направлению скоростью. Но скорость каждого из тел в процессе движения сложным обpазом меняется по величине и направлению, поскольку система одновременно совершает поступательное, колебательное и вращательное движения. Значит, первый закон Ньютона применим не ко всем точкам системы. А тогда где же находится та точка, которая движется с постоянной скоростью? Она существует (хотя бы одна), иначе первый закон Ньютона не был бы справедливым.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, запишем уравнение, выражающее второй закон Ньютона, для каждой из материальных точек 1 и 2:

(5)

где F ₁₂ — сила, действующая со стороны второй частицы на первую, а F ₂₁ — сила, действующая со стороны первой частицы на вторую. Согласно третьему закону Ньютона, эти силы равны по величине и противоположны по направлению:

Сложим теперь два уравнения движения:

(7)

Это можно переписать в виде

(8)

В результате получаем закон сохранения импульса системы двух тел

Подставляя сюда выражение для импульсов частиц, получаем после следующей цепочки преобразований

(11)

(12)

(13)

Разделив обе части последнего равенства на суммарную массу, m = m ₁ + m ₂, получаем уравнение

(14)

Введем теперь вектор

(15)

Точка с координатами R _c называется центром инерции (или центром масс) системы из двух материальных точек. Из уравнения (14) следует, что, каким бы сложным ни казалось движение каждой из масс, пpоизводная d R _c / dt = const. Таким обpазом, центр инерции движется с постоянной скоростью (независимо от наличия колебательного и вращательного движения системы). Обозначим эту скорость как V _c:

(16)

Подставляя сюда выражение для R _c и дифференцируя, получаем

(17)

Эта формула определяет скорость центра инерции V _c через массы и скорости составляющих систему частиц. К движению именно этой точки относится первый закон Ньютона, и скорость этой точки надо считать скоростью движения системы как целого ¹ . Если мы согласимся на такое определение скорости движения системы как целого, то тогда импульс системы как целого должен быть равен произведению суммарной массы системы m ₁ + m ₂ на ее скорость V _c, то есть (m ₁+ m ₂) V _c. С другой стороны,

и импульс системы оказывается равным сумме импульсов составляющих ее частиц. Таким образом, импульс, как говорят, — величина аддитивная, то же самое можно сказать и о массе тела. Мы показали, что в отсутствие внешних сил этот импульс не меняется со временем, то есть сохраняется. Очевидно, что все вышесказанное можно отнести и к системе с б\'ольшим числом материальных точек.

Если на систему теперь действуют внешние силы, например на первое тело F _{1 внеш} и на второе F _{2 внеш}, то уравнения движения для каждой из материальных точек запишутся в виде

	=	F 12+ F 1 внеш,
			(19)
	=	F 21+ F 2 внеш.

Складывая эти уравнения, получаем

	=	F 1 внеш+ F 2 внеш, или
			(20)
	=	F 1 внеш+ F 2 внеш.

Отсюда следует, что

Примером может служить движение снаряда по параболе в безвоздушном пространстве. Если в какой-либо момент времени снаряд разорвется на мелкие осколки, то эти осколки будут далее разлетаться в разные стороны. Однако центр масс осколков и газов, образовавшихся при взрыве, будет продолжать свое движение по параболической траектории, как если бы никакого взрыва не было.