Шрёдингеровское описание

Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях:

• Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами комплексного сепарабельного гильбертова пространства , причем векторы и описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда , где — произвольное комплексное число.
• Каждой наблюдаемой можно однозначно сопоставить линейный самосопряжённый оператор. При измерении наблюдаемой , при чистом состоянии системы в среднем получается значение, равное
  
  где через обозначается скалярное произведение векторов и .
• Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы определяется уравнением Шрёдингера где — гамильтониан.

Основные следствия этих положений:

• При измерении любой квантовой наблюдаемой возможно получение только ряда фиксированных её значений, равных собственным значениям её оператора — наблюдаемой.
• Наблюдаемые одновременно измеримы (не влияют на результаты измерений друг друга) тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряжённые операторы перестановочны (коммутируют).

Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Не все состояния квантовомеханических систем, однако, являются чистыми. В общем случае состояние системы является смешанным и описывается матрицей плотности, для которой справедливо обобщение уравнения Шрёдингера — уравнение фон Неймана (для гамильтоновых систем). Дальнейшее обобщение квантовой механики на динамику открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем приводит к уравнению Линдблада.