Механические свободные гармонические колебания

В уравнениях (1) или (2) наибольшее смещение маятника из положения равновесия положения называют амплитудой смещения (x_max). В системе СИ её единица измерения – метр:

.

Выражение в скобках уравнений (1) или (2) называют фазой колебаний

. (3)

Единицей измерения фазы служит радиан:

.

В начальный момент времени (начало движения) фаза равна

,

Поэтому величину j_нач называют начальной фазой. Её можно принять равной 0.

Величину w₀ называют собственной циклической (или угловой) частотой колебаний. Она измеряется в радианах-в-секунду:

.

В процессе колебаний её значение не меняется.

Величина w₀ связана с величиной n, называемой частотой колебаний, формулой:

. (4)

Следовательно, с учётом формулы (4) выражение (3) для фазы и закон колебаний (1) примут вид соответственно: , (3*)

если , то

. (1*)

По определению, частота n - это с. ф. в., равная отношению числа N полных колебаний, совершаемых за время t, к этому времени:

. (5)

Эта величина измеряется в герцах:

.

Физический смысл частоты состоит в том, что она численно равна числу полных колебаний за единицу времени, т. е. за 1 с

.

Период – это с. ф.в., равная отношению времени колебаний к числу этих колебаний:

. (6)

Период измеряется в секундах:

.

Физический смысл периода состоит в том, что он численно равен времени одного полного колебания

.

Следовательно, период связан с частотой и циклической частотой формулами:

, (7)

. (8)

Таким образом, с учётом формулы (8) выражение (3) для фазы и закон колебаний (1) примут вид:

, (3**)

. (1**)

Энергия механических колебаний равна сумме потенциальной энергии и кинетической энергии:

. (9)

Энергия измеряется в джоулях:

.

Потенциальная энергия пропорциональна массе маятника, квадрату частоты колебаний, квадрату координаты (смещения) маятника и равна

. (10)

Подставим в выражение (10) закон колебаний (1), тогда

. (11)

Видно, что значение потенциальной энергии периодически меняется во времени. Период квадрата косинуса в 2 раза меньше чем период косинуса, поэтому период изменения потенциальной энергии в 2 раза меньше периода изменений координаты. За одно полное колебание маятника потенциальная энергия дважды принимает нулевое значение, когда маятник проходит положение равновесия, и дважды имеет максимальное значение при максимальном смещении маятника.

Максимальное значение потенциальной энергии равно

. (12)

Кинетическая энергия пропорциональна массе маятника и квадрату скорости колебаний:

. (13)

А скорость равна отношению изменения координаты ко времени этого изменения:

. (14)

Единица измерения скорости – метр в секунду:

.

Подставив уравнение (1) в выражение (14), получим:

.

Амплитуда скорости колебаний равна

.

Выражение для скорости возведём в квадрат и подставим в уравнение (13):

. (15)

Следовательно, что значение кинетической энергии тоже периодически меняется во времени, и за одно полное колебание потенциальная энергия дважды принимает нулевое значение, когда маятник максимально смещён, и дважды имеет максимальное значение в положении равновесия маятника.

Максимальное значение кинетической энергии такое же, как и потенциальной, если нет потери энергии.

. (16)

Теперь найдём полную механическую энергию колебаний маятника, подставив выражения (11) и (15) в уравнение (9):

(17)

Таким образом, за период колебаний полная механическая энергии маятника постоянна и равна амплитуде потенциальной и кинетической энергии.