Билет №1

Линейные дифференциальные уравнения n -ого порядка. Свойства их решений

В общем случае данные уравнения имеют вид ,

где - непрерывные функции.

Обозначим левую часть дифференциального уравнения, линейную относительно y и ее производных через , т. е.

. Тогда уравнение можно записать в виде . Этому неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение .

Свойство 1. Если и являются решениями однородного уравнения , то их сумма также является решением этого уравнения. Действительно, в силу линейности функции .

Свойство 2. Если является решением уравнения , то , где , также является решением этого уравнения.

Свойство 3. Если являются решениями уравнения , то , где - постоянные также является решением этого уравнения.

В силу линейности уравнения имеем .

Свойство 4. Если являются решениями однородного уравнения , а решением неоднородного уравнения , то также является решением неоднородного уравнения.