Плоское напряженное состояние

.Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, касательное напряжение положительно, если оно стремится повернуть рассматриваемую часть элемента относительно внутренней точки по час.стр

Напряжения на наклонной площадке:

Закон парности касательных напряж.: если по площадке действует касательное напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку. (t_xz= — t_zx)

Прямая задача. По известным главным напряжениям: s₁=

s_max, s₂= s_min требуется определить для площадки, наклоненной под заданным углом (a) к главным площадкам, нормальные и касательные напряжения:

или .

Для перпендикулярной площадки:

.

Откуда видно, что s_a+s_b=s₁+s₂ — сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам инварианта (независима) по отношению к наклону этих площадок.

.

Тензор

Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензором напряжений в точке. Тензор можно представить в виде матрицы, соответствующим образом упорядочив девять компонент: Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, не видимые на рис. 5 и 6) положительная компонента направлена в противоположном направлении.. Эти напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений, определяются аналогично

А) Определение продольных сил:

Для определения продольных сил применяется метод сечений, который заключается в том что, стержень мысленно рассекается плоскостью, перпендикулярную оси стержня, на две части. Взаимодействие частей между собой заменяется

продольной силой N и из условия равновесия какой-либо из двух частей определяется значе­ние этой силы.

Условимся силу N считать положительной, если она вызывает растяжение (направлена от сечения); и отрицательной, если она вызывает сжатие (направлена к сечению).

В тех случаях, когда направление силы N неизвестно, целесообразно принять ее положи­тельной. Если при решении уравнения равнове­сия сила N получится со знаком «+», то стержень в данном сечении будет растянут, если со знаком «–» то сжат.

В) Эпюра N:

Для построения эпюры N приходится устанавливать закон изменения продольной силы по дайне стержня и определять величины N в нескольких поперечных сечениях. Так, для стержня, изображенного на рис. 2.3, а, нор­мальные силы на участках l₁ l₂ l₃ различны, что устанавливается из рас­смотрения равновесия отсеченных частей, изображенных на рис. 2.3, б, в, г. Применяя для каждой из этих частей уравнение статики Z = 0, находим: N₁= 30 тс, N₂ = 40 тс, N₃ =-20 тс.

Г) Диаграмма растяжения, предельные напряжения:

График зависимости между растягивающей силой Р и удлинением образца называется диаграммой растяжения. Вначале на участке ОА диаграмма представляет собой наклонную прямую. В этих пределах напряжения растут пропорционально деформац, т. е. соблюдается закон Гука, который справедлив до предела пропорциональности.

Пределом пропорциональн называется наибольшее напряжения, при котором справедлив закон Гука.

Пределом упругости называется максимальное напряжение, которое может выдержать материал, не обнаруживая признаке ос­таточной деформации при разгружении.

Пределом текучести называется напряжение, при котором де­формации растут без увеличения. Соответственно горизонтальный участок диаграммы называют пло­щадкой текучести.

Начиная с некоторого момента при дальнейшем увели­чении деформаций нагрузка вновь уве­личивается. Происходит «самоупроч­нение» стали, причины которого до се­го времени недостаточно ясны. Пределом прочности (или временным сопротивлением) называет­ся отношение наибольшей нагрузки, выдерживаемой образцом, к первона­чальной площади его сечения. После достижения точки D диаграммы эти деформации концентриру­ются в одном наиболее слабом месте, где начинает образовываться шейка - местное значительное сужение которое быстро прогрессирует.

Д) Закон Гука, механические характеристики материала:

Между напряжениями и деформациями существует зависимость, известная под названием закона Гука. Для центрального растяжения (сжатия) она имеет вид .

Размерность Е такая же, как и у напряжения. Подставив в формулу значение из закона Гука получим .

Величина EF называется жесткостью стержня Ис­пытания проводятся для определения числовых характеристик, позволяю­щих оценить прочность и пластичность материала. Такие характеристики обычно называют механическими.

Е) Расчёт прочности по допустимым напряжениям:

По методу допускаемых напряжений требуется, чтобы наибольше напряжение в стержне не превосходило так называемого допускаемого напряжения, которое обозначается [ ]. Например, при растяжении усилий прочности имеет вид:

Предполагая, что действующее напряжение равно допускаемому Из этого уравнения можно определить требуемую площадь при за данной силе или, наоборот. Допускаемые напряжения равны опасным напряжением деленным на коэффициент запаса прочности

Для хрупких материалов за опасные напряжения принимают предел прочности поэтому

для пластических материалов - предел текучести следовательно

Очевидно, что коэффициент запаса п₁ должен быть больше п₂, так как по­сле появления пластических деформаций стержень еще не разрушается.

Необходимость введения коэффициентов запаса прочности а) разбросом в определяемых из опыта величинах или для данного материала;

б) невозможностью точно установить действующие нагрузки;

в) неточностью принятых методов расчета