Главная страница
Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Билет 20
1) Определение поверхностного интеграла второго рода. Пусть в пространстве переменных x, y, z задана ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя поверхность  , на которой введена ориентация (т.е. с помощью единичного вектора нормали в какой-либо точке задана сторона поверхности), и на которой определена функция R (x, y, z).Разобьём поверхность на  частей  , на каждой из частей  выберем произвольную точку  , найдём  , нормаль  в точке  к выбранной стороне поверхности, и площадь  проекции части на плоскость ОХУ. В интегральную сумму слагаемое  возьмём со знаком " +", если  (т.е. если угол  между и осью Oz - острый; проекция  на орт  оси Oz положительна), и со знаком " -", если  . В результате интегральная сумма будет иметь вид  . Если существует предел последовательности интегральных сумм при  , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части  , ни от выбора точек  , то функция R (x, y, z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом второго рода, или поверхностным интегралом по координатам х, у, и обозначается  . Обычно рассматривается сумма этих интегралов, которая обозначается  .
Физический смысл: поток векторного поля  через поверхность  в направлении внешней нормали.(сколько жидкости протекает за единицу времени через заданную поверхность). 
Пример. Вычислить  , s - часть поверхности цилиндра y =  , заключенная между плоскостями x =0, x =8, z =0, z =3. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Oх.
Решение: Определяем знаки направляющих косинусов нормали cosa> 0, cosb< 0, cosg=0. Поэтому
  , где Проекция поверхности s на плоскость Oxy вырождается в линию - параболу y =  , cosg=0, поэтому интеграл по Dxy в данном случае отсутствует. Вычислим отдельно интегралы по Dyz и Dxz , выражая x (y, z) и y (x, z) из уравнения поверхности s: x (y, z)=2  , y (x, z)=  .
 =  =  dy =328,  =  =  dx =928. Окончательно I = 328 - 928 = - 600.
2) Потенциальное векторное поле. Определение потенциального поля. Векторное поле  (M) называется потенциальным в области V, если существует такое скалярное поле  , что (M)  для  . Поле называется потенциалом поля (M).
|
