Дальше производные периодически повторяются. Ряд Маклорена имеет вид

.

Этот ряд абсолютно сходится при, и его сумма действительно равна. Остаточный член формулы Тейлора имеет вид, где или - ограниченная функция, а (это общий член предыдущего разложения).

4..

Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд:

.

Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.

6..

Ряд для этой функции называется биномиальным рядом. Здесь мы будем вычислять производные.

Ряд Маклорена имеет вид

Ищем интервал сходимости:, следовательно, интервал сходимости есть. Исследование остаточного члена и поведение ряда на концах интервала сходимости проводить не будем; оказывается, что при ряд абсолютно сходится в обеих точках, при ряд условно сходится в точке и расходится в точке, при расходится в обеих точках.

7..

Здесь мы воспользуемся тем, что . Так как , то, после почленного интегрирования,

.

Область сходимости этого ряда - полуинтервал , сходимость к функции во внутренних точках следует из теоремы о почленном интегрировании степенного ряда, в точке х=1 - из непрерывности и функции, и суммы степенного ряда во всех точках, сколь угодно близких к х=1 слева. Отметим, что взяв х=1, мы найдём сумму ряда .