Задача №6

Напоминание

Билет 4

¹⁾ Тройной интеграл в цилиндрических координатах. В этой координатной системе положение точки в пространстве характеризуется тремя числами: r, j и z, где r и j - полярные координаты проекции M¹

Вычислим якобиан этого преобразования: , следовательно, .

Тройной интеграл в сферических координатах. В этих координатах положение точки M в пространстве характеризуется тремя числами: r, j и , где r - длина радиуса-вектора точки M, j - полярный угол проекции M¹ точки М на плоскость Оху, - угол между радиусом-вектором точки M и осью Oz. Формулы перехода от сферических координат к декартовым:

r sin

M (x, y, z)= M (r, j, )

Вычислим якобиан этого преобразования: , следовательно, .

2) Формула Стокса: Физический смысл формулы Стокса состоит в том, что циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура численно равна потоку ротора этого поля через произвольную поверхность , натянутую на этот контур.

Физический смысл ротора.

Можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

Обычно говорят, что циркуляция характеризует вращательную способность поля. Имеется в виду следующее. Если векторные линии поля замкнуты, то, как мы видели, циркуляция по ним в направлении поля положительна, при этом в гидродинамической интерпретации частицы жидкости крутятся по этим замкнутым линиям. Пусть теперь линии тока произвольны; вообразим в объёме V замкнутый контур С. Если в результате движения жидкости этот контур будет вращаться, то поле обладает вращательной способностью; абсолютная величина циркуляции будет определять угловую скорость вращения (чем больше | Ц |, тем выше скорость); знак циркуляции покажет, совпадает ли направление вращения с направлением интегрирования.

3)

(-1; 1)

4) Посчитать массу криво.

.

5) Посчитать циркуляцию поля с помощью формулы Стокса. Контур

6)

Билет 5

1) Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция .

Разобьём область D произвольным образом на подобластей (не имеющих общих внутренних точек). Символом будем обозначать площадь области ; символом здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области D:

;

символом обозначим наибольший из диаметров областей : .

В каждой из подобластей выберем произвольную точку , вычислим в этой точке значение функции , и составим интегральную сумму .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти , ни от выбора точек , то функция называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается .

2) Циркуляцией называется линейный интеграл векторного поля по замкнутой кривой С: .

Обычно говорят, что циркуляция характеризует вращательную способность поля. Имеется в виду следующее. Если векторные линии поля замкнуты, то, как мы видели, циркуляция по ним в направлении поля положительна, при этом в гидродинамической интерпретации частицы жидкости крутятся по этим замкнутым линиям. Пусть теперь линии тока произвольны; вообразим в объёме V замкнутый контур С. Если в результате движения жидкости этот контур будет вращаться, то поле обладает вращательной способностью; абсолютная величина циркуляции будет определять угловую скорость вращения (чем больше | Ц |, тем выше скорость); знак циркуляции покажет, совпадает ли направление вращения с направлением интегрирования.

Ротором векторного поля (M) в точке называется векторная величина (векторное поле) . Запомнить эту формулу очень легко, если выразить через оператор Гамильтона набла: равен векторному произведению . Действительно, . Если теперь раскрыть этот определитель по первой строке, получим

. Физический смысл ротора. Можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

3) ряд Дирихле (или обобщённый гармонический ряд)

. (18.3.1)

Если s < 1, то , и, так как частичные суммы неограничены, то суммы и подавно неограничены, т.е. при s < 1 ряд (18.3.1) расходится. Пусть теперь s > 1. Как и для гармонического ряда сгруппируем члены в частичной сумме по степеням числа 2: …+ .

Структура каждой скобки: , поэтому (мы воспользовались формулой для частичной суммы геометрической прогрессии). Последовательность ограничена; ряд сходится.

Итак, ряд Дирихле (18.3.1) сходится при s > 1, расходится при s 1.

4) Расставьте пределы интегрирования. Перейти к полярным координатам.

6) а)

б)

1) Пусть в пространстве Oxyz задана ограниченная замкнутая область (объём) V, и пусть на области V определена функция .

Разобьём область V произвольным образом на подобластей (не имеющих общих внутренних точек). Символом будем обозначать объём области ; символом обозначим наибольший из диаметров областей : .

В каждой из подобластей выберем произвольную точку , вычислим в этой точке значение функции , и составим интегральную сумму .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области V на подобласти , ни от выбора точек , то функция называется интегрируемой по области V, а значение этого предела называется тройным интегралом от функции по области V и обозначается .

Если расписать значение через координаты точки , и представить как , получим другое обозначение тройного интеграла: . Итак, кратко, .

Линейность. Если функции , интегрируемы по области V, то их линейная комбинация тоже интегрируема по , и .

Аддитивность. Если область является объединением двух областей и , не имеющих общих внутренних точек, то .

Монотонность. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции интегрируемы по области V, то .

2) Теорема Стокса. Пусть в пространственной области V задано гладкое векторное поле

Приведённую формулу называют формулой Стокса в векторной форме. В координатной форме формула Стокса имеет вид

или

.

Пример непосредственного вычисления циркуляции векторного поля и вычисления по формуле Стокса. Требуется вычислить циркуляцию поля по контуру С, образующемуся в результате пересечения поверхности с координатными плоскостями.

.

3)

1) Если ряд сходится, то сумма его остатка после n -го члена стремится к нулю при .

Доказательство. Пусть S - сумма исходного ряда (18.2.1), - сумма его остатка. Из равенства следует , т.е. . Отсюда .

Здесь тоже можно сделать житейский вывод. Из предыдущего свойства следует, что сходимость ряда определяется сходимостью его остатка, т.е. хвостом ряда, а сумма S ряда, как следует из равенства , о пределяется пределом , т.е. началом ряда.

2) Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

Доказательство. Частичная сумма ряда есть ; по свойству предела .

3) Два сходящихся ряда и можно почленно складывать и вычитать; ряд также сходится, и его сумма равна .

Доказательство и этого свойства - прямое следствие свойств пределов для частичных сумм: .

4)

5) П-?

(

Билет 7.

1.

Определение потенциального поля. Векторное поле (M) называется потенциальным в области V, если существует такое скалярное поле , что (M) для . Поле называется потенциалом поля (M).

. Тогда ,

(на ) (по теореме о среднем) . Точка удовлетворяет условиям . Устремим , тогда , и .

Аналогично доказывается, что .

2.

Масса m материальной кривой с плотностью m(x, y, z) вычисляется по формуле .

Пример. Найти массу четверти лемнискаты , если плотность выражается формулой m(x, y)= .

Решение: , поэтому

3.

Ряд сходится равномерно на области G, если для любого числа существует такое натуральное число , одно и то же для всех точек , что при n > N выполняется неравенство (или, что тоже самое, , где - остаток ряда после n -го члена).

Признак Вейерштрасса. Если существует такой положительный сходящийся числовой ряд , что члены функционального ряда в любой точке удовлетворяют неравенству , то функциональный ряд сходится равномерно в области G.

Геометрическая прогрессия равномерно сходится на любом отрезке , целиком лежащем в области сходимости (-1, 1). Действительно, построим мажоранту для геометрической прогрессии на . Из чисел а, b выберем большее по модулю. Пусть, например, . Тогда для любого выполняется . Таким образом, сходящийся (так как ) числовой ряд мажорирует на функциональный ряд , откуда, по признаку Вейерштрасса, следует равномерная сходимость этого функционального ряда.

Ряд равномерно сходится на любой полуоси , так как на этом множестве он мажорируется рядом .

Ряд равномерно сходится на всей числовой оси (мажоранта для этого ряда уже получена - это ряд ).

4.

Окружность и гипербола.

Находим точки пересечения.

x= ; y1= ; y2=

S = + + ;

S = + + ;

В пол. коорд.

r< =2;

r< =1/

Точки пересечения

ϕ = ±arccos(1/4)

S = + +

5.

Ввиду симметрии кривой, разобьем ее на 4 части

; ;

Замена p=sin t и q=cos t

Ответ m= 4 a^(7/3)

Билет 8.

1.

Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x, y, z задана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция f (x, y, z).Разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , найдём и длину дуги , и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция f (x, y, z) называется интегрируемой по кривой , а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции f (x, y, z) по кривой , и обозначается (или ).

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции, и пусть точкам , которые задают разбиение кривой, соответствуют значения параметра , т.е. . Тогда (см. раздел 13.3. Вычисление длин кривых) . По теореме о среднем, существует точка такая, что . Выберем точки , получающиеся при этом значении параметра: . Тогда интегральная сумма для криволинейного интеграла будет равна интегральной сумме для определенного интеграла . Так как , то, переходя к пределу при в равенстве , получим

.

2.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция Р (x, y, z) называется интегрируемой по кривой , а значение этого предела называется криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координате х от функции Р (x, y, z) по кривой , и обозначается (или ).

Свойства криволинейного интеграла второго рода. Для этого интеграла существенны следующие свойства:

16.3.3.2.1. Линейность. Если функции интегрируемы по кривой (каждая по своей координате, то по этой кривой интегрируемы функции , и

16.3.3.2.2. Аддитивность. Если кривая разбита на две части и , не имеющие общих внутренних точек, то .

16.3.3.2.3. Изменение знака криволинейного интеграла второго рода при изменении направления прохождения кривой: .

4.

rТочки пересечения (-4; 8) и (2; 2)

S =

S =

В полярных координатах

Точки пересечения

S =

5.

=

Переходим в обобщенные полярные координаты y=arcos z=ar/

rdr = ½ π a^4

6.

Сходится абсолютно при -1< x< 1

Билет 9.

1.

Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x, y, z задана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция f (x, y, z).Разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , найдём и длину дуги , и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция f (x, y, z) называется интегрируемой по кривой , а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции f (x, y, z) по кривой , и обозначается (или ).

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции, и пусть точкам , которые задают разбиение кривой, соответствуют значения параметра , т.е. . Тогда (см. раздел 13.3. Вычисление длин кривых) . По теореме о среднем, существует точка такая, что . Выберем точки , получающиеся при этом значении параметра: . Тогда интегральная сумма для криволинейного интеграла будет равна интегральной сумме для определенного интеграла . Так как , то, переходя к пределу при в равенстве , получим

.

2.