Вопрос 7. Простые и составные высказывания. Правила определения истинности составных высказываний.

Среди суждений, устанавливающих различные отношения между математическими понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы.

Высказыванием называется предложение, относительно которого
имеет смысл вопрос, истинно оно или ложно..

Например, предложение «Число 6 четное» есть истинное высказывание, а предложение «2 + 4 = З²» -ложное высказывание.

В математике различают элементарное и составное высказывание.
Предложение «Число 28 делится на 7» элементарное. Составными
высказываниями являются, например, следующие:

1. число 28 четное и делится на 7;

2.число х меньше или равно 8;

3. если треугольник равнобедренный, то углы в нем при основании равны. Составные высказывания образуются из элементарных с помощью слов «и» («А и В»), «или» («И или В»), частицы «не» (не А) и некоторых других. Эти слова в математике называют логическими связками.

Вообще каждому высказыванию приписывают одно из двух значений И (истина), если оно истинно, и Л (ложь), если оно ложно. Значения И и Л называют значениями истинности высказывания. Если высказывание элементарное, то его значение истинности определяют по содержанию, опираясь на известные знания. А как быть, если высказывание составное? Как определить значение истинности такого высказывания? Здесь на помощь приходит форма высказывания.

Конъюнкцией двух высказываний А и В называют высказывание вида А и В, истинное, если оба высказывания истинны, и ложное, если хотя бы одно из них ложное.

Пример. Установим, истинно или ложно высказывание: 1). число 102 четное и делится на 9.

В этом случае составное высказывание имеет форму «А и В», где А — «Число 102 четное», а В — «Число 102 делится на 9». Легко видеть, что высказывание А истинное, а высказывание В ложное (число 102 не делится на 9, так как на 9 не делится сумма цифр в записи этого числа). Следовательно, и все предложение ложное.

Дезъюнкцией двух высказываний А или В называют высказывание вида А или В, ложное, если оба высказывания ложные и истинное во всех остальных случаях.

Пример. Установим, истинны ли высказывания: число 102 четное или делится на 3.

В этом случае составное высказывание имеет форму «А или В», где А -«Число 102 четное», В - «Число 102 делится на 3»

Видим, что высказывания А или В истинны, следовательно, данное высказывание истинно.

Импликацией двух высказываний АиВгазывается высказывание вида А=> В (если А то В), ложное только в одном случае, если А истинное, а В -ложное, во всех остальных случаях оно истинное.

Отрицанием высказывания А называется высказывание вида А, которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.