Толщина потери энергии основного потока в пограничном слое.

Для всего слоя

Разделив этот интеграл на r0u0, получим толщину вытеснения

получим уравнение Кармана

Правая часть уравнения представляет коэффициент трения Cf, который может быть представлен в следующем виде:

Целью проектирования любого аэродинамического устройства является минимизация потерь, т.е. d**®min. Поскольку , то чем больше степень нарастания толщины потери импульса, тем больше потери, равные r₀u₀ ²d* *. Определяющим потери фактором является продольный градиент изменения скорости основного потока (u`<sub>o</sub>) или градиент давления dp/dx. При отрицательном градиенте скорости (u`_o< 0, dp/dx> 0) происходит быстрое нарастание d**, которое в свою очередь приводит к увеличению числа и более раннему переходу (Re** > Re**_кр) ламинарного режима течения в турбулентный в пограничном слое. Это в свою очередь сопровождается изменением профиля скорости в пограничном слое так, что

В результате увеличивается коэффициент трения Сf, что еще больше увеличивает dd**/dx и, соответственно, d** несмотря на то, что отношение d*/d** уменьшается при переходе от ламинарного к турбулентному режиму течения.

При турбулентном течении (Re> 10⁴) скорость и давление в фиксированной точке пространства не остаются постоянными во времени, а изменяются случайным образом. Такие изменения называются пульсациями. Элементы жидкости, пульсирующие как целое вдоль и поперек основного течения, представляют собой не отдельные молекулы (как в ламинарном течении), а макроскопические образования.

Движение частицы в этом случае представляется в виде суммы средней скорости (давления) и пульсационной составляющей (со штрихом)

. ,

Фундаментальным свойством турбулентного течения является влияние пульсационных составляющих скорости (u`) на осредненное движение () так, что в осредненном движении как бы увеличивается вязкость осредненного движения (“кажущаяся вязкость”), т.е. появляются дополнительные касательные напряжения.

Система уравнений, описывающая двумерное нестационарное турбулентное течение в пограничном слое, может быть записана в следующем виде:

Уравнение неразрывности:

Уравнение движения в направлении Х:

Уравнение энергии:

Уравнение состояния:

Модель турбулентности, связывающая касательные напряжения Рейнольдса с градиентом составляющей средней скорости через турбулентную вязкость:

Модель турбулентного теплового потока:

Решение этой системы уравнений в частных производных производится численными методами. В результате, мы получаем распределение всех параметров жидкости (газа) по двум координатам в различные моменты времени. В частности, на стенке мы можем определить и градиент температуры и, следовательно, по закону Фурье найти тепловой поток.

Как следует из этих уравнений, распределение теплосодержания поперек толщины пограничного слоя зависит от турбулентности потока (величины пульсаций скорости). Интуитивно очевидно, что в турбулентном пограничном слое градиент температуры потока вблизи стенки будет выше, чем в ламинарном, за счет более интенсивного переноса энергии поперек потока с помощью пульсаций. Отсюда и тепловой поток также будет больше. Следовательно, в отличие от твердых тел, коэффициент пропорциональности теплового потока градиенту между средней температурой жидкости и стенки зависит не только от физических свойств теплопроводящей среды (), но и от режима обтекания. В этом случае этот коэффициент пропорциональности носит название коэффициента теплоотдачи ().

Режим течения (в том числе и интенсивность турбулентности) однозначно связан с соотношением инерционных сил и сил вязкости (вязкость демпфирует пульсации). Если рассмотреть уравнение движения, то в нем можно выделить силы инерции и вязкости и найти их отношение:

В принципе можно найти множитель (например 0, 0001), при котором критерий Рейнольдса, больший единицы будет определять турбулентное течение, а меньше единицы—ламинарное. Таким образом, можно сформировать критериальную (безразмерную) форму зависимости коэффициента теплоотдачи, удобную для обобщения экспериментальных данных по теплообмену. В этом случае коэффициент теплоотдачи также должен быть безразмерным. Поскольку в эксперименте очень трудно определять градиент температуры газа вблизи стенки, то в качестве температурного градиента будем использовать разность полной средней температуры жидкости (газа) в потоке и температуры стенки.

Запишем очевидное равенство . Отсюда, безразмерный коэффициент теплоотдачи (число Нуссельта) .

Классическим примером эффективного использования критериальной формы аппроксимации экспериментальных данных является осредненная зависимость:

для развитого турбулентного течения в гладких трубах, с помощью которой можно определить теплоотдачу от газа к поверхности. Как следует из вышерассмотренных соотношений, чем тоньше пограничный слой, тем больше градиент температуры на стенке и тем больше тепловой поток. Поэтому при «лобовом» натекании струи на поверхность реализуются максимальные коэффициенты теплоотдачи: пограничный слой находится в стадии формирования (имеет минимальную толщину). С одной стороны, поверхности, подвергаемые такому воздействию со стороны горячего газа, очень трудно охлаждать (например, входные кромки лопаток турбины). С другой стороны, «лобовое» натекание со стороны охлаждающего воздуха является очень эффективным средством снижения тепловой нагрузки на поверхность.

Для примера, критериальное уравнение теплоотдачи при лобовом натекании имеет вид:

, где число Рейнольдса определяется по диаметру отверстия подачи охлаждающего воздуха.

Как уже было отмечено ранее, основой для оценки граничных условий теплообмена со стороны внешнего обтекания являются результаты расчета нестационарных статор-ротор взаимодействия и плоского пограничного слоя. К числу факторов, которые необходимо учитывать дополнительно, относятся:

1. турбулентность основного потока,

2. пленочное охлаждение в условиях нестационарного взаимодействия,

3. трехмерность течения в концевых сечениях,

4. дрейф горячего ядра потока вдоль поверхности корыта лопатки. Турбулентность потока определяется как отношение осредненной во времени пульсации скорости к осредненной скорости потока, т.е.

T_U = где U, V, W – компоненты скорости

Осредненная, или интегральная турбулентность, характеризуется

T_U = где f – частота турбулентных пульсаций

S(f) – спектральная плотность

Частота турбулентных пульсаций характеризуется волновым числом К = которое связано с масштабом турбулентных вихрей, или турбулентности, L_х^. Спектр турбулентности S(к) как функция волнового числа может быть аппроксимирован (Колмогоров, Карман [49, 171]и др.) Согласно корреляции Колмогорова, с увеличением частоты пульсаций интенсивность турбулентности уменьшается.

Как показывают эксперименты, турбулентность потока на выходе из камеры сгорания (на входе в турбину) является практически изотропной и может достигать 30% (Т_U = 0, 3). Масштаб турбулентности пропорционален диаметру отверстий для вторичного воздуха, так как при обтекании струй вторичного воздуха газом образуются вихревые структуры, соизмеримые с диаметром этих струй. Высокий уровень турбулентности в камере сгорания обусловлен малым уровнем скорости потока (l_КС = 0, 2…0, 25). В районе выходной кромки завихрителя фронтового устройства, где модуль скорости еще меньше, турбулентность достигает 300%, при этом турбулентность существенно анизотропна > > .

При прохождении газа через сопловой аппарат его скорость увеличивается и, соответственно, степень турбулентности уменьшается даже при сохранении кинетической энергии пульсаций (т.е. без её диссипации, что на самом деле имеет место). Таким образом, на выходе из соплового аппарата ожидаемый осредненный по спектру частот уровень турбулентности составляет порядка 5%. Выходные кромки лопаток соплового аппарата также генерируют турбулентные вихри, образующиеся в результате срыва пограничного слоя при обтекании кромок. Масштаб этих вихрей определяется диаметром кромок. Турбулентность потока при взаимодействии с входными кромками рабочих лопаток составляет 3…8 %.

Турбулентность потока оказывает существенное влияние на механизм переноса энергии в пограничном слое и отсюда на коэффициент теплоотдачи. Особенно это относится к входным кромкам лопаток, где пограничный слой только формируется и, следовательно, имеет малую толщину. Большинство существующих корреляционных соотношений для коэффициента теплоотдачи на входной кромке включают в себя турбулентность потока в качестве параметра.

При коррекции коэффициентов теплоотдачи на профиле лопатки по уровню турбулентности необходимо иметь в виду различное качественное влияние турбулентности на ламинарное и переходное (от ламинарного к турбулентному) течение в пограничном слое. Оценка влияния турбулентности потока при взаимодействии его с пограничным слоем может быть произведена с помощью понятия эффективной турбулентности.

Дело в том, что турбулентность потока реально влияет на процессы переноса в пограничном слое только в узком диапазоне частот пульсаций: при более высоких частотах турбулентность затухает в результате вязкого демпфирования, а при меньших частотах возмущения пульсации носят квазистационарный характер и, соответственно, не находят отражения в осредненном во времени решении. Эффективное волновое число Кd = для пограничного слоя равно 0, 11d-1, где d - толщина пограничного слоя. Частотный спектр, в котором существуют наиболее энергосодержащие вихри, характеризуется волновым числом Ке. Для потоков с большими числами Рейнольдса это волновое число коррелируется с зависимостью Ке = 0, 75L-1, где L – масштаб турбулентности. Таким образом, наибольшее влияние турбулентных пульсаций на процессы переноса в ламинарном пограничном слое реализуется при равенстве волновых чисел Кd и Ке, т.е. в диапазоне отношений L/d = 7…10. Отсюда следует вывод, что эффективная турбулентность зависит не только от уровня измеренной (интегральной) турбулентности, но и в большой степени от соотношения волновых чисел Кd и Ке, или L/d. Известны случаи, когда в эксперименте генерация высокого уровня турбулентности не приводила к турбулизации ламинарного пограничного слоя на лопатках именно по причине несовпадения волновых чисел Кd и Ке. На рис.4.3.2 (кривая Tu) представлен для примера типичный спектр турбулентности по волновым числам, с помощью которого можно определить эффективную турбулентность. Аргументом для вхождения в этот график является отношение волновых чисел Кd/ Ке или 1/7 L/d.

Основное воздействие турбулентности потока на ранний переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный заключается в генерации и усилении вынужденных ламинарных пульсаций (в отличие от волн Толмина-Шлихтинга при естественной потере устойчивости ламинарного течения) в пограничном слое выше по потоку от формирующихся турбулентных пятен. Максимальный рост ламинарных пульсаций в пограничном слое происходит при воздействии турбулентности в частотном диапазоне, близком к диссипативному. Известно, что волновые числа вихрей с максимальной энергией (К_е) и максимальной диссипацией (К_d) существенно различаются. В [171] показано, что их отношение (К_d/ К_е) превышает 100. Соответственно, максимальный рост ламинарных пульсаций реализуется в частотном диапазоне, соответствующем К_эфф = 0, 3К_d. Отсюда, эффективный диапазон отношений волновых чисел К_d/ К_е, в котором происходит интенсивное продуцирование ламинарной кинетической энергии, составляет 10…100. На рис.4.3.3 (кривая C) для иллюстрации представлено распределение коэффициента С = определяющего продуцирование ламинарной кинетической энергии в уравнении энергии[171].

Как видно из иллюстрации, максимум С достигается при К_d/ К_е @ 70…80.

Таким образом, для правильного (хотя бы качественно) учета влияния турбулентности на интенсификацию теплоотдачи необходимо знать интенсивность, масштаб турбулентности потока и толщину пограничного слоя.

В случае генерации турбулентных следов выходными кромками лопаток можно использовать соотношения для сеток [213].

Тu = A , где А = 0, 7…1, 0; m =0, 7…0, 9.

d – диаметр выходной кромки лопатки

х – расстояние от выходной кромки до места взаимодействия с пограничным слоем.

Соответственно, масштаб турбулентности

L_х = Вd , где В =0, 2…0, 3; n = 0, 3…0, 5.

Распределение толщины пограничного слоя берется из предварительного расчета стационарного пограничного слоя. После определения локальных значений L/d становится возможным определение волновых чисел (К_d/ К_е) и эффективной турбулентности. Величина эффективной турбулентности используется далее:

для ламинарного слоя в корректирующей функции увеличения коэффициента теплоотдачи в зависимости от турбулентности (например, корреляция Кришнамурти), полученной из эксперимента;

для определения точки перехода-- в величине критерия Re по экспериментальным соотношениям Абу-Ганэма или Ван - Дриста.

Для практических целей широко используется такая характеристика, как эффективность охлаждения , которая есть отношение теплового сопротивления на границе газ-стенка к общему тепловому сопротивлению (сумме сопротивлений газ-стенка, стенка, стенка-охлаждающий воздух) при равенстве тепловых потоков, то есть:

, откуда видно, что с увеличением теплоотдачи со стороны охлаждающего воздуха эффективность охлаждения приближается к асимптоте, меньшей 1. При очень хорошем охлаждении () эффективность конвективного охлаждения не превосходит значения 0, 5. Это значит, что при допустимой для длительной работы температуре поверхности лопатки турбины 1000⁰С и температуре охлаждающего воздуха 600⁰С максимально допустимая температура газа перед турбиной не должна превосходить 1600К. При дальнейшем увеличении термодинамической температуры необходимо вводить плёночное охлаждение.

Для увеличения интенсивности охлаждения эффективно используется оребрение, позволяющее увеличить площадь теплообмена, а также интенсифицировать перемешивание нагретых слоев воздуха у стенки с ядром потока. Необходимо иметь в виду, что интенсификация теплоотдачи со стороны охлаждающего воздуха приводит к росту гидравлических потерь и, соответственно, увеличению потребной мощности, затрачиваемой на прокачку охладителя. Поэтому при выборе схемы и параметров конвективного охлаждения необходимо оценивать так называемые насосные потери. В качестве критерия оценки эффективности оребрения обычно используется отношение Nu / f ^{1, 3} к (Nu / f ^{1, 3})_о , где f - коэффициент трения, равный

D - гидравлический диаметр

L - длина канала

индекс “о” относится к гладкому каналу.

Это отношение (Nu / f ^{1, 3}) зависит от числа Re так, что с его увеличением оно уменьшается, т.е. потери на трение в оребренных каналах увеличиваются в большей степени, чем коэффициент теплоотдачи. Как правило, при одинаковых потерях на трение коэффициент теплоотдачи в оребренных каналах в 1, 5...2, 0 раза выше, чем в гладких.

Суть плёночного охлаждения заключается в создании пристеночного слоя вблизи охлаждаемой поверхности за счет выдува охлаждающей жидкости (воздуха, водяного пара и т.п.) с температурой, меньшей, чем температура газа. В процессе выдува за счет перемешивания вблизи поверхности образуется «плёнка», т.е. смесь воздуха и газа с пониженной температурой. Эффективность плёночного охлаждения определяется подобно эффективности конвективного охлаждения:

.

Выдув пленки в поток может быть организован через щели или ряды отверстий. В последнем случае траектория струи охлаждающего воздуха отклоняется под воздействием внешнего потока. В результате реализующейся криволинейной траектории в струе возникает поперечный градиент давления и, соответственно, вторичное течение, которое усиливается за счет силы трения при обтекании струи внешним потоком. Это приводит к распаду охлаждающей струи на два противоположно вращающихся вихря (“почкообразный” вихрь). Струя охлаждающего воздуха может присоединиться к охлаждающей стенке, обеспечивая снижение температуры среды, взаимодействующей со стенкой. При определенных условиях (избыточном импульсе охлаждающего воздуха) эта струя может оторваться от поверхности и способствовать подсасыванию горячего газа на поверхность охлаждаемой стенки, существенно ухудшая эффективность пленочного охлаждения. В любом случае, непосредственно в районе выдува воздуха структура течения существенно трехмерна, чем обусловлены трудности математического моделирования охлаждения. Начиная примерно от расстояния, равного десяти диаметрам вниз по потоку (^x/_D > 10), структура течения близка к двумерной. Это дает возможность сформировать достаточно простую модель эффективности пленочного охлаждения, используя двумерную модель турбулентного пограничного слоя.

Определяющим структуру течения струи является так называемый параметр вдува , где r и u соответственно плотность и скорость потоков. При М< 0, 5 струя, как правило, прилипает к стенке, а при М > 1 - отрывается от стенки. Известно много зависимостей, аппроксимирующих q_пл = f (M, x/D). В качестве примера можно привести зависимость Кутателадзе-Леонтьева.

,

где x_ПС - продольная координата пограничного слоя,

В связи с тем, что эти корреляции приводятся в литературе без указания, при каких волновых числах были получены экспериментальные данные, приходится сделать предположение о реализации в эксперименте максимальных значений эффективной турбулентности, т.е для ламинарного слоя и К_d = 70 К_е для турбулентного слоя. Тогда соотношения Кришнамурти и Абу-Ганэма можно модифицировать, записав их как функции эффективной, а не интегральной турбулентности

A_L= (Кришнамурти)

Re = 163 + ехр (6, 91-100Тu), где Тu = f(К_d/ К_е) Тu.

Оценка коэффициента теплоотдачи в области торможения потока на входной кромке производится по экспериментальным данным, обобщенным в виде критериальной зависимости числа Фросслинга (Nu/Re^{0, 5}) от турбулентности потока и её масштаба, а также числа Рейнольдса. Эта зависимость носит название Ван-Фоссена и, в отличие от более ранних обобщений экспериментальных данных, учитывает масштаб турбулентности:

=0, 00799 [59]

a = при φ < ,

где l - коэффициент теплопроводности;

φ – угол между точкой торможения и текущей координатой профиля.

Следует отметить, что для лопаток первого соплового аппарата, где турбулентность поток высока (10-30%) число Фросслинга выше, чем для рабочих лопаток (Tu@5%).

Одним из важных факторов, влияющих на эффективность плёночного охлаждения, является нестационарность поля давления в месте выдува плёнки, обусловленная потенциальным статор-ротор взаимодействием. Амплитуда пульсаций давления может достигать 10%. При этом оптимальное значение перепада давления на отверстиях пленочного охлаждения составляет всего 1, 02. В результате при малых осевых зазорах между лопатками статора и ротора пленочное охлаждение становится неэффективным: большую часть времени струя отрывается от поверхности.

В общем случае эффективность пленочного охлаждения

является функцией множества параметров: (-) соотношения массовых расходов охлаждающего воздуха и газа (М), (-) скорости внешнего потока, (-) числа Re, (-) турбулентности, (-) соотношения толщины пограничного слоя и диаметра отверстия для выдува, (-) отношения продольной координаты к диаметру отверстия (), (-) отношения шага к диаметру отверстий (), (-) отношения длины отверстия к диаметру (), (-) отношения радиуса кривизны поверхности к диаметру отверстия, (-) угловой ориентации () отверстия по отношению к внешнему потоку, (-) нестационарности ().

Основными параметрами, определяющими эффективность пленочного охлаждения, считаются М, , , , упомянутые выше.

Ниже представлены данные моделирования эффективности пленочного охлаждения в квазистационарной постановке с учетом статор-ротор взаимодействия (нестационарного поля давления вокруг профиля рабочей лопатки—данные взяты из главы 2).

1-эффективность пленки по осредненным во времени параметрам

2-эффективность пленки, осредненная по времени.

Как видно из рисунка, нестационарность существенно влияет на эффективность пленочного охлаждения. Отсюда следует, что для хорошего пленочного охлаждения необходимо обеспечивать низкий уровень нестационарности, возникающий при статор-ротор взаимодействии. Следует иметь в виду, что нестационарность потока вокруг профиля и, как следствие, нестационарность струй пленочного охлаждения также может привести к снижению эффективности пленки, в том числе и из-за неидентичности структуры течения в стационарных и в осредненных во времени нестационарных условиях.

(30) Эксперименты показывают, что при равных параметрах (М, ) эффективность пленочного охлаждения выше на спинке лопатки по сравнению с корытом, хотя на спинке пленка диссипирует на более коротком участке в сравнении с корытом. Учет влияния выдува пленки на интенсификацию теплообмена грубо может быть сделан исходя из очевидной корреляции эффективности охлаждения пленки и степени воздействия её на пограничный слой, а именно:

Если , то происходит переход в турбулентный режим с возможным обратным переходом по критерию реламиниризации (К> 3∙ 10^-6).

Возможен и более точный учет изменения коэффициента теплоотдачи при выдуве пленки с помощью аппроксимации экспериментальных данных.

Граничные условия по температуре газа.

В силу трехмерности и нестационарности течения газа в ступени начальная неравномерность температуры трансформируется в межлопаточном канале рабочего колеса. Основными физическими механизмами этой трансформации являются:

- радиальные пристеночные течения на корыте рабочего колеса, обусловленные вязкостью и градиентом давления в межлопаточном канале между корытом и спинкой, в том числе достаточно сильный ток в радиальном направлении вверх при наличии радиального зазора;

- действие архимедовой силы, обусловленной стратификацией плотности газа при различной температуре (в ядре температура выше, чем на периферии), что вынуждает более горячие слои перемещаться в сторону меньшей плотности, т.е. по направлению к втулке рабочего колеса;

- сегрегация теплосодержания газа между спинкой и корытом, обусловленная периодическим изменением вектора и модуля скорости нестационарного потока при прохождении лопаток ротора мимо лопаток статора;

- " размазывание" пика температуры на выходе из камеры сгорания в окружном направлении рабочими лопатками ротора, что может приводить к уменьшению окружной температурной неравномерности после первого рабочего колеса.