Наращение и дисконтирование по сложным процентным ставкам

Сделка считается сделанными на условиях сложных процентных ставок, если доход за последующий временной период исчисляется не с первоначальной величины инвестированного капитала (Р), а с наращенной суммы предшествующих периодов. В этом случае происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их базе, что постоянно увеличивает саму базу для последующих периодов начисления. Сложные проценты применяются, как правило, в средне- и долгосрочных финансовых операциях.

Приращенная сумма финансовой сделки определяется:

Формула представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 1+ i, а ее применение не ограничивается годовым интервалом начисления. Так, к примеру, при ежемесячном начислении процентов в качестве i применяется процентная ставка за один месяц, а в качестве n — срок финансовой операции, выраженный в месяцах. В отличие от формулы наращения по простым процентным ставкам в данном случае приращение капитала I не пропорционально ни сроку финансовой операции, ни ставке процента (за исключением n=1).

При применении в финансовых сделках плавающих ставок наращенная сумма определяется:

В финансовых контрактах временной срок зачастую определяется не целым числом (например, 3 года и 1 месяц). В этом случае в правилах ряда коммерческих банков определено правило, по которому начисление процентов производится исключительно на целую часть без учета дробной.

Однако, учесть полный срок позволяет одна из двух схем:

1. Общая схема сложных процентов:

где n — целая часть периода начисления

f — дробная часть периода начисления.

2. Смешанная схема, при которой схема сложных процентов применяется для целой части периода начисления, а схема простых процентов для дробной:

Сравнение множителей наращения по схеме простых и сложных процентов приводит к выводу, что для кредитора предпочтительнее применение схемы сложных процентов в сделках со сроком реализации более 1 года, а простых — до одного года, что демонстрирует система неравенств:

Кроме этого, наращенная сумма при использовании смешанной схемы будет больше чем при применении общей схемы сложных процентов.

Базовой формулой для математического дисконтирования является:

.

Эта формула означает, что для инвестора современная величина (Р) и доход (S) планируемый к получению через n лет в будущем равнозначны с позиции своей покупательной способности. Множитель называют дисконтным (учетным) множителем, который показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущих периодов при заданной процентной ставке. Его значение уменьшается при росте сроков реализации финансовой операции и процентной ставки по ней.

При кратном начислении процентов m раз в году формула для нахождения современной величины приобретает следующий вид:

.

В практике учетная ставка применяется, как правило, в случаях, когда продается долговое обязательство ранее установленного срока погашения с дисконтом. Однако дисконтирование по учетным ставкам происходит с замедлением, т. к. каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой ставке), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге времени. Таким образом, дисконтирование по сложной учетной ставке производится по формуле:

,

где d — сложная годовая учетная ставка.

С позиции лиц осуществляющих дисконтирование наиболее предпочтительным является применение:

а) сложной учетной ставки, если срок учета менее одного года;

б) простой учетной ставки, если срок учета более одного года.