Обратная угловая засечка

Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P по двум углам β ₁ и β ₂, измеренным на определяемой точке P между направлениями на три пункта с известными координатами A, B, C (рис. 7.7).

Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы β ₁ и β ₂ с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты A, B, C на чертеже; переколоть точку P с кальки на чертеж.

Исходные данные: X_A, Y_A, X_B,
Y_B, X_C, Y_C;

Измеряемые элементы: β ₁, β ₂.

Неизвестные элементы: X, Y.

Рис. 7.7

Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно более 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек.

Предположим, что положение точки P известно, и проведем две окружности: одну радиусом R1 через точки A, B и P и другую радиусом R2 через точки B, C и P (рис. 7.7). Радиусы этих окружностей получим по формуле (7.35):

(7.35)

Если координаты центров окружностей - точек O₁ и O₂ будут известны, то координаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O₁ по расстоянию R₁ и из точки O₂ - по расстоянию R₂.

Координаты центра O₁ можно найти по формулам линейной засечки из точек A и B по расстояниям R₁, причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла β ₁: если β ₁< 90°, то точка O₁ находится справа от линии AB, если β ₁> 90°, то точка O₁ находится слева от линии AB.

Координаты центра O₂ находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R₂, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если β ₂< 90°, то точка O₂ находится справа от линии BC, если β ₂> 90°, то точка O₂ находится слева от линии BC.

Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.