Общее уравнение Шредингера нерелятивистской квантовой механики

Статистическое толкование волн де Бройля (см. §216) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. §215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции y (х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |y|², определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами х и х+dх, у и y+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть во­лновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

где h =h/(2p), m — масса частицы D—оператор Лапласа (Dy= д²y/дx ² +д²y/дy ²+ д ²y/ д z²), i — мнимая единица, U(х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, y (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы. Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. §225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v< < с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. §216); 2) производные д y/ д x, д y/ д y, д y/ д z, д y/ д t должны быть непрерывны; 3) функция |y|² должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3). Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) x(x, t)=Acos(wt-kx), или в комплексной записи x(х, t) =Aе^i(wt-kx). Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид y=Ae ^{-(i/h)(Et-px)} (217.2) (учтено, что w=E/h, k=p/h). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |y |², то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда