Случайные события. Содержание: Алгебра событий и вероятность

Содержание: Алгебра событий и вероятность. Вероятность суммы и произведения событий. Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема Бернулли и ее обобщение. Цепь Маркова. Граф и матрица перехода цепи Маркова.

Случайное событие – событие, которое может произойти и не произойти (попадает стрелка в минешь, лотерея).

Вероятность случайного события – число Р(А), равное отношению числа благоприятствующих ему исходов к общему числу несовместных, равновозможных исходов.

Задача: Монета бросается 3 раза. Найти вероятность того, что выпадет два герба.

Возможные исходы: (Р, Р, Р), (Р, Р, Г), (Р, Г, Р), (Г, Р, Р), (Р, Г, Г), (Г, Р, Г), (Г, Г, Р), (Г, Г, Г) – 8. Р(В)=3/8.

Неразложимые исходы ω ₁, ω ₂, …, ω _n некоторого эксперимента будем называть элементарными событиями, а их совокупность Ω ={ ω ₁, ω ₂, …, ω _n } – пространством элементарными событиями (исходов).

В мат-ке принято выделять оп-и, производимые над определенным числом элементов. А именно, операции, производимые над одним элементом наз. унарными. Над двумя – бинарными, тремя – тернарными. В теории вер-тей мы будем встречаться с двумя бинарными операциями (+ и * событий) и одной унарной операцией (отрицание). Слож-е событий: А+В (или), произ-е А*В (и), отрицание (не).

Суммой двух событий наз. событие С=А+В, состоящее в выполнении события А или события В.

Произведением событий А и В наз. Д=А*В, состоящее в совместном исполнении событий А и В.

Противоположным к событию А наз. событие , состоящее в непоявлении события А, значит дополняющее его до Ω.

Свойства

1.А+В=В+А 2.А*В=В*А 3.(А+В)*С=АС+ВС

4.двойное отрицание А=А

Вероятность суммы двух событий А и В:

ρ (А+В)= ρ (А)+ ρ (В) - ρ (АВ)

Т.о. если события несовместимые, т.е. АВ≠ 0, то вероятность суммы равна сумме вероятностей: ρ (А+В)= ρ (А)+ ρ (В) (несовместные т.е. одновременно не выполняются АВ≠ 0).

Условной вероятностью ρ (А/В) события А при условии, что произошло событие В (ρ (В)≠ 0), назовем отн-е ρ (А/В)=ρ (АВ)/ρ (В). Это эквивалентно теореме умножения, а именно ρ (АВ)= ρ (В)* ρ (А/В)= ρ (А)* ρ (В/А), т.е. вероятность произведения двух, равна вероятности одного из них, умноженного на условную вероятность другого, при условии, что первое событие наступило.

Два события А и В называются независимыми, если ρ (АВ)= ρ (А)*ρ (В).

Следствия из правил сложения и умножения на вероятностных деревьях:

1. Р(АВ+СD)=P(A)P(B/A)+P(C)P(D/c), где AB и CD- несовместные события.

2. Р(А₁А₂…A_n-1A_n)=P(A₁)P(A₂/A₁)…

…P(A_n/A₁A₂…A_n-1).

Назовем произ-е Р(А₁)Р(А₂/А₁)… Р(А_n/A₁A₂…A_n) весом ветви, проходящей через корень дерева и вершины, соответствующей событиям А₁, А₂, …, А_n. Интерпретацией теоремы сложения и умножения на вероятностных деревьях служит дерево исходов, соответствующее благоприятному событию. Рядом с каждым ребром дерева запишем вероятность исхода, соответствующего конечной вершине этого ребра при условии выполнения произведения всех исходов, соответствующих вершинам пути от корня дерева до данной вершины.

Пример: Слово «ПАПАХА» разрезано на отдельные буквы. Из этих 6 букв наугад вынимается 4. Какова вероятность получить ПАПА?

А={получить слово ПАПА}. Возьмем в дереве испытаний ветвь, соответствующую событию А и найдем ее вес:

P(A)=2/6*3/5*1/4*2/3=1/30=P(П)*Р(А/П)*Р(П/ПА)*Р(А/ПАП)

Свойства операции сложения и умножения

1. Если АiAj=0 при i≥ 1, j≤ n, то Р(А₁+А₂+…+Аn)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(An)

2. Если Р(А₁А₂А₃…Аn)=P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)… P(A_n/A₁A_2…A_n-1)

Формула полной вероятности

Если событие А может наступить при проявлении одного из нескольких событий (гипотез) Н₁, Н₂, …, Нк, то для вычисления вероятности события А используют формулу полной вероятности. Для этого необходимо, чтобы гипотезы H_i 1≤ i ≤ k, должны образовывать полную систему событий (гипотез), т.е. должны выполняться два условия:

1. Н₁+Н₂+…+Нк=W (их сумма должна давать элементарное пространство)

2. HiHj=Æ i≠ j

P(A)=Р(Н₁)Р(А/Н₁)+Р(Н₂)Р(А/Н₂)+…+Р(Нк)Р(А/Нк)= Р(Нi)P(A/Hi) – формула полной вероятности, где Р(Нi) – вероятность гипотезы, P(A/Hi) – условная вероятность события А при выполнении гипотезы Нi.

Граф формулы полной вероятности

Т.о. вероятность события А равна весу всего графа.

Формула Байеса

Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н₁), Р(Н₂), …, Р(Нn), а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события «новые», т.е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

Р(Нк/А)= (к=1, 2, …, n)

где Р(А)= = Р(Нi)P(A/Hi)

Условная вероятность Р(Нк/А) равна отношению веса ветви вероятности графа, проходящего через вершину соответствующую гипотезе Нк, к весу всего графа.

Задача: На заводе изготовляют болты. 1 машина производит 25% изделий, 2 – 35%, 3 – 40%. В их продукции брак составляет 5%, 4%, 2%.

a) Какова вероятность, что случайно выбранный болт – дефектный.

b) Какова вероятность, что он произведен 1, 2, 3 машиной?

a) А={выбрать дефектный болт}.

Выдвигаем гипотезы: Н₁ – {болт произведен 1 машиной}, Н₂ – {болт произведен 2 машиной}, Н₃ – {болт произведен 3 машиной}.

Р(Н₁)=0, 25, Р(Н₂)=0, 35, Р(Н₃)=0, 4; Р(А/Н₁)=0, 05, Р(А/Н₂)=0, 04, Р(А/Н₃)=0, 02.

Р(А)=0, 25*0, 05+0, 35*0, 04+0, 4*0, 02=0, 0345.

b) По формуле Байеса

Р(Н₁/А)=(0, 25*0, 05)/0, 0345=29/69.

Р(Н₂/А)=(0, 35*0, 04)/0, 0345=28/69; Р(Н₃/А)=16/69.

Задача: Предположим, что 5 мужчин из 100, и 25 женщин из 100000 являются дальтониками. Наугад выбираем лицо, страдающее дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?

Схема Бернулли и ее обобщения

Схема Бернулли – конечная серия n повтор. независ. испытаний с двумя исходами. Вероятность успеха при одном испытании будем обозначать р. Вероятность неудач q=1-p. Успех – У, неудача – Н. Ограничимся случаем, когда n=3 (3 испытания).

Исходы: Вероятности:

УУУ р³

УУН р²q

УНУ р²q²

НУУ р²q

НУН рq²

ННУ рq²

ННН q³

Р₃(3)=р³= Р₃(1)=3рq²=

Р₃(2)=3р²q=

Р₃(0)=q³=

Р_n(m)=

2) Вероятность Рn(m) при данном n сначала увеличивается при увеличении m от 0 до m₀, а затем убывает при увеличении m от m₀ до n. Т.о. m₀ называется наивероятнейшим числом наступления успехов в серии из n повторяемых независимых испытаний.

Нахождение вероятностей по формуле Бернулли для больших n сопряжено с большим числом вычислений.

Часто используют в задачах:

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Рn(m)= ,

где φ (х)-табличная функция φ (х)= Интегральная теорема М-Л для вычисления числа успехов в промежутке от m₁ до m₂.

Рn(m₁ £ m£ m₂)» - ,

где Ф(х)-табличная функция, равная

ЗАДАЧА: Вероятность получения с конвейера изделия 1 сорта равна 0, 8. Определить вероятность того, что из взятых проверку 400 изделий 1 сорта будет: а) 320 изделий, б) от 300 до 340 изделий

а) Р₄₀₀.. Оп(320)=

б) Р₄₀₀ .. Оп(300£ m£ 340)=

Теорема Пуассона

, где l=np

Цепь Маркова

Пусть {Е₁, Е₂, …, Ек} – множество состояний некоторой системы. В любой момент времени система может находиться в одном из состояний и меняет свое состояние только в моменты t₁, t₂, …, tn, …Для однородных цепей Маркова вероятность p_{i, j} перехода системы из состояния Еi в Ej за 1 шаг зависит только от того, из какого состояния и в какое осуществляется переход. Вероятности перехода p_{i, j} удобно расположить в виде матрицы