Основные свойства определенного интеграла.

1)Если функция f(x)интегрируема на наибольшем из отрезков [a, b], [a, c], [c, b], то она интегрируема на двух отрезках, причем: ʃ _a^b f(x)dx=ʃ _a^c f(x)dx + ʃ _c^b f(x)dx при любом расположении точек a, b, c.

2)Если ф. f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то ф. kf(x), где k=const, также интегрируема на этом отрезке, причем: ʃ _a^b kf(x)dx=kʃ _a^b f(x)dx

3)Если ф. f(x) и ϕ (x) инт. на [a, b], то их сумма и разность также инт. на этом отрезке, причем:

ʃ _a^b (f(x)±ϕ (x))dx=ʃ _a^b f(x)dx ± ʃ _a^b ϕ (x)dx

4)Если ф. f(x)инт. на [a, b], где a< b и f(x)≥ 0 для всех xє[a, b], то: ʃ _a^b f(x)dx ≥ 0

5)Если f(x), ϕ (x) инт. на [a, b], где a< b и f(x)≤ ϕ (x) для всех xє[a, b], то ʃ _a^b f(x)dx ≤ ʃ _a^b ϕ (x)dx

6)Если f(x) инт. на [a, b], где a< b, то Іf(x)І также инт. на [a, b], причем: І ʃ _a^b f(x)dx І≤ ʃ _a^b І f(x) І dx

13.Теорема об оценке определенного ʃ.Теорема о среднем значении.

Теорема об оценке определенного ʃ: Если ф.f(x)инт. на [a, b], где a< b и для всех xє[a, b] выполняется неравенство m≤ f(x)≤ M, то m(b-a)≤ ʃ _a^b f(x)dx ≤ M(b-a).С помощью этого неравенства можно оценить опрʃ, т.е. указать границы, между кот. Заключено его значение.

Теорема о среднем: Если ф.F(x)инт. на [a, b] и для всех xє[a, b] выполняются неравенства m≤ f(x)≤ M, то ʃ _a^b f(x)dx=µ(b-a), где m≤ µ ≤ M.

14.Производная опр.ʃ по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b], тогда на этом отрезке определена функция Ф(x)=ʃ _a^x f(t)dt. (Переменную интегрирования обозначили буквой t, переменный верхний предел - буквой х). Теорема 1. Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то функция Ф(х) непрерывна на этом отрезке. Теорема 2. Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела. т.е.Ф’(x)=f(x).

Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то при любом х (ʃ _x^b f(t)dt)_x’=-f(x).

Следствие 2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции.

Формула Ньютона-Лейбница: ʃ _a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

Или ʃ _a^b f(x)dx =F(x) І_a^b, F(x) І_a^b = F(b)-F(a)