Единственности решения

Рассмотрим уравнение

где и – вещественные числовые параметры, в области ограниченной при отрезками прямых Соответственно и характеристиками

уравнения (1) при .

Задача. Найти функцию из класса

удовлетворяющую граничным условиям

где – заданные непрерывные функции, непрерывна вместе со своей производной, причем

Введем также обозначения

Лемма 1. Если и , то любое решение уравнения (1) удовлетворяет условию

При любом .

Доказательство. Известно, что решение задачи Дарбу имеет вид

где – функция Бесселя.

Из формулы (5) вычислим

Используя (6), преобразуем интеграл .

Заменим функцию Бесселя ее интегральным представлением [10]

Тогда выражение для интеграла примет вид

где

Таким образом лемма 1 доказана.

Лемма 2. Если (действительное) и

то для любого регулярного в области решения уравнения (1) справедливо соотношение

Доказательство. Пусть существует конечный предел

Тогда, переходя в уравнении (1) при к пределу при , получаем

причем

Из (9) и при имеем

Интегрируя первый интеграл по частям получим

Таким образом, мы получим, что

Это и подтверждает справедливость леммы 2.

Теорема 1. Пусть – регулярное в области решение однородной задачи, удовлетворяющее условию

Тогда в 𝛺 при всех и

Доказательство. Заметим, что из равенства (10) в силу лемм 1 и 2 при следует, что на

В области рассмотрим тождество

Действительно, левая часть

равняется правой части.

Пользуясь формулой Остроградского

проинтегрируем (11) по области и учитывая однозначные граничные условия (8), имеем

или

Откуда

или

Рассмотрим

Так как по условию теоремы 1 (однородная задача).

Таким образом, получаем следующее соотношение

так как то из равенства (12) получаем, что и при

откуда следует, что в

В области однородная задача Дарбу для уравнения (1) имеет только тривиальное решение .

Следовательно, в .

Пусть теперь .

Введем новую неизвестную функцию

или

Откуда

Подставив в уравнение (1) и сократив на , будем иметь следующую формулу

Лемма 3. Если на и , где , то для любого регулярного в области решения уравнения (13) справедливо неравенство

Справедливость неравенства (14) устанавливается в

Теорема 2. Пусть – решение однородной задачи из класса регулярных решений уравнения (1) удовлетворяющее условию

Тогда в 𝛺, если , или и , или .

Доказательство. В области рассмотрим тождество

Проинтегрируем (17) по вдоль , где - сколь угодно малые величины, а затем в полученном равенстве перейдем к пределу при и .

Если в (15) подставить , то (15) примет вид

Отсюда

Отсюда

или

Так как , то и с учетом того, что (однородная задача) получим, что

Далее в однородном случае краевое условие

примет вид

Полагая в (18), будем иметь

или

Итак,

Согласно лемме 3

Тогда (19) можно записать

Для непрерывной со своими первыми производными на замкнутом интервале функции неравенство Фридриха имеет вид

где и – постоянные. Если функция удовлетворяет дополнительным условиям =0, то неравенство (20) примет вид

Из неравенства Фридриха имеем

и

или

Тогда, если и

т.е.

то сумма двух неотрицательных слагаемых равняется нулю, это возможно только в случае, когда каждое из них равняется нулю, заключаем, что и , следовательно, . Тогда из (12) имеем, что в .

Далее рассмотрим единственность решения задачи для уравнения (1) при .

Пусть – решение однородной задачи, для которого существует конечный предел

Тогда переходя к пределу в уравнении (1) при получаем функциональное соотношение между и из параболической части в виде (9) и в силу (8)

Функциональное соотношение между и из гиперболической части на линии имеет вид

Исключая из (9) и (23), с учетом граничных условий (2) и(3) для определения функции получаем следующую краевую задачу

Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению

имеет вид

Введем обозначение , через обозначим какое-нибудь из двух значений . Если есть одно из значений корня , то двумя другими значениями будут , где

Аналогично, для кубического корня обозначим его значение через , где – то из значений кубического корня, для которого равно , т.е. вещественно.

Рассмотрим три возможных случая

Пусть . Тогда – действительное число. В этом случае – действительный корень, и – комплексно сопряженные корни.

Обозначим

тогда корни уравнения (27) запишутся в виде

где

Пусть . Тогда , где – вещественно.

В рассматриваемом случае все три решения уравнения (26) вещественны, различны и имеют вид

Если . То все три решения являются вещественными, причем если и при . В рассматриваемом случае . Поэтому решения уравнения (27) имеют вид

Решение задачи (26), (25) имеет вид

где

где

На основании (28)-(30) заключаем, что , если выполняются условия (8).

Тогда отсюда, как показано выше, вытекает, что в .

§2. Доказательство существования решения задачи 1

Пусть и .

Проинтегрируем (9) от 0 до трижды

.

Перепишем (9) в виде .

Тогда

Откуда

Поменяв порядок интегрирования будем иметь

или

Откуда

или

Таким образом, получаем функциональное соотношение между и на линии из параболической части в виде

где

Если предварительно считать правую часть уравнения (31) известной и равно й , то для имеем интегральное уравнение типа

Обращая интегральное уравнение (32) получаем

где – резольвента ядра уравнения (32),

Учитывая значение из (33) получаем

или

где

чтобы получить функциональное соотношение между и из гиперболической части на линии , рассмотрим решение задачи Коши для уравнения (1) при . Это решение имеет вид [5]

где – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Требуя, чтобы функция, определяемая соотношением (36) удовлетворяла граничному условию (3), получаем для интегральное уравнение типа Вольтерра

где

Считая по формуле (37) известной и пользуясь формулой обращения для таких уравнений [6] находим

где

При получении формула (38) использовано тождество [7]

Перепишем равенство (31) с учетом значения и того, что .

С учетом последнего (34) будем иметь вид

где

Исключая из (38) и (39), получаем смешанное интегральное уравнение первого рода [8] для определения :

где

Поскольку резольвента в прямоугольнике x ведет себя таким же образом, как и ядро , то на основании свойств заданных функций и в силу (35), (38), (40) - (43) заключаем, что функции непрерывны вместе с частными производными первого порядка по переменным и ; непрерывна вместе с производной, причем , .

Дифференцируя уравнение (43) по переменной , получаем смешанное интегральное уравнение второго рода

(44)

где

В уравнении (44) функцию будем считать известной. Обращая его как интегральное уравнение Вольтнрра второго рода, имеем

где – резольвента ядра .

Заменяя теперь его значением, получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода

где

Из формулы (47) вытекает, что ядро интегрального уравнения (46) и его правая часть непрерывны по переменным и .

Так как эквивалентность всюду сохраняется, то из единственности решения задачи следует существования решения уравнения (46).

После нахождения функции из (46) решения задачи в области определяется по формуле (36), а в области – как решение уравнения (1) при с граничными условиями (2) и условием .

Решение этой задачи удовлетворяет интегральному уравнению

где

где – функция Грина краевой задачи (2) и уравнения (49), которые имеют вид[9]:

где

где функция Бесселя. Функции и называются функциями Эйри и удовлетворяют уравнению .

Основные свойства функций и , их оценки вместе с частными производными порядка приведены [9].

К интегральному уравнению (48) применима теория Фредгольтма. Оно всегда разрешимо, так как соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение, что следует из теоремы 1 о единственности решения задачи 1.

Доказательство существования решения задачи 1, когда , проводится аналогично предыдущему случаю.

Пусть теперь . Вид решения уравнения (24), удовлетворяющего краевым условием (25), зависит от значения величины . Если , т.е., то решение задачи (24), (25) имеет вид:

где

Если , т.е. , то решение задачи (24), (25) имеет вид

где

Аналогичным образом находится функция в случае , т.е.

или

Таким образом, после того, как функция найдена, находим с помощью формулы (23). Следовательно, искомое решение задачи в гиперболической части смешанной области находится как решение задачи Коши, а в области – как решение уравнения (1) при , удовлетворяющее граничным условиям (2) и условию .

Эта задача снова эквивалентна редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма второго рода (48), которая в силу единственности решение задачи однозначно разрешима.