И предельно допустимой скорости вращения

Условия прочности быстровращающихся деталей заключаются в обеспечении неразрушения конструкции при максимальной рабочей скорости ее вращения.

Расчет этих узлов (например, дисков центробежных распылительных мазутных форсунок) является очень ответственным видом расчета. Последнее связано с тем, что аварии такого оборудования могут иметь тяжелые последствия: повреждение экранных поверхностей топки котла и выход котла из строя; опасность для обслуживающего персонала. Расчетная схема быстровращающегося диска представлена на рисунке 7.1.

Рисунок 7.1 – Расчетная схема быстровращающегося диска

Рассмотрим диск толщиной (в), вращающийся с постоянной скоростью (w = const). Выделим на нем бесконечно малый элемент на радиусе r.

Пусть требуется определить напряжения (радиальные и тангенциальные) и обеспечить условие механической прочности диска.

Имеем дело с двухосным напряженным состоянием и к нему применим закон Гука. То есть относительные удлинения по расчетным осям будут определяться по формулам:

Из уравнения (7.1)радиальные напряжения определяют по формуле:

(7.3)

Подставляя полученное значение (σ _r) в уравнение (7.2), получим:

или (7.4)

Решая уравнения (7.4) относительно (σ _t)и (σ _r)будем соответственно иметь:

и аналогично (7.5)

То есть для определения радиальных и тангенциальных напряжений необходимо знать соответствующие относительные деформации и . Для определения относительных деформаций составляем расчетную схему, которая представлена на рисунке 7.2.

В соответствии с принятой схемой относительные радиальные деформации будут равны:

(7.6)

где А'В' = u+ du– (u– dr);

u – величина перемещения.

Рисунок 7.2 – Расчетная схема для определения радиальных

и тангенциальных относительных деформаций

(7.7)

(7.8)

(7.9)

(7.10)

Определяем значения относительных деформаций для перемещения (u).

С этой целью воспользуемся принципом Д' Аламбера, в соответствие с которым рассмотрим равновесие элементарного объема, приложив к нему в качестве внешней силы соответствующую инерционную нагрузку. Тогда:

(7.11)

(7.12)

Для того чтобы рассмотреть уравнение равновесия спроецируем все силы на биссектрису угла dj. Расчетная схема уравнения равновесия представлена на рисунке 7.3.

Рисунок 7.3 – Расчетная схема уравнения равновесия сил

на биссектрису угла dj

Результирующая сила от дифференциала радиальных напряжений в соответствии с расчетной схемой будет равна:

. (7.13)

Запишем уравнение равновесия сил:

(7.14)

Для малых углов можно принять, что .

Тогда, сокращая уравнение (7.14) на и b, получим:

(7.15)

Разделим уравнение (7.15) на (dr) и поменяем знаки:

(7.16)

Подставляя в полученное уравнение выражения (s_t) и (s_r), получим:

(7.17)

(7.18)

(7.19)

Меняя знаки в уравнении (7.19) и выполняя деление на (r), будем иметь:

(7.20)

Левая часть уравнения (7.20) является результатом дифференцирования выражения вида:

(7.21)

Выражение в квадратных скобках в левой части уравнения (7.21), в свою очередь, является результатом дифференцирования произведения вида:

(7.22)

Производя последовательные подстановки левых частей уравнений (7.22) в (7.21), а затем в (7.21) в (7.20), получаем результирующее дифференциальное уравнение быстровращающегося диска вида:

, (7.23)

где (7.24)

Допускаемые напряжения, толщина диска, его наружный диаметр и предельно допустимая скорость вращения определяются на основании результатов общего решения дифференциального уравнения быстровращающегося диска (7.23).

Задачу решаем двукратным интегрированием:

(7.25)

(7.26)

Откуда (7.27)

Относительные радиальные и тангенциальные деформации будут соответственно равны:

(7.28)

(7.29)

Радиальные и тангенциальные напряжения определяем по формулам:

(7.30)

(7.31)

Постоянные интегрирования (С ₁) и (С ₂) определяют из граничных условий.

Рассмотрим эти частные решения дифференциального уравнения вращающегося диска. Эпюры радиальных и тангенциальных напряжений диска показаны на рисунке 7.4.

Рисунок 7.4 – Эпюры радиальных и тангенциальных напряжений диска

1. Константа интегрирования (С ₂) принимается равной нулю, исходя из физических представлений и математического анализа уравнения перемещений (7.27). Из этого уравнения следует, что если допустить С ₂ ¹ 0, то тогда деформации в центре диска должны достигнуть бесконечности, что по физическим представлениям невозможно. То есть, если r = 0, то .

2. На наружной поверхности диска отсутствуют воздействия от соседних слоев в радиальном направлении, поэтому для них .

(7.32)

где С ₂ = 0 и тогда уравнение (7.32) принимает вид:

(7.33)

Сокращая уравнение (7.33) на первый сомножитель и решая его относительно (С ₁), получим:

(7.34)

Подставляя полученное значение константы (С ₁) в уравнения для расчета радиальных (7.30) и тангенциальных (7.31) напряжений, будем иметь:

(7.35)

После сокращений и алгебраических преобразований уравнение (7.35) принимает вид:

(7.36)

Принимая для стального диска (m = 0, 3), получим расчетное уравнение инженерного вида:

(7.36)

Анализ полученной формулы показывает, что на наружной поверхности (r = R) напряжения равны 0, а в центре диска, где r = 0, они достигают максимального значения.

. (7.37)

После сокращений и алгебраических преобразований уравнение (7.37) принимает вид:

(7.38)

Анализ полученной формулы показывает, что в центре диска тангенциальные напряжения достигают своего максимума и определяются по формуле:

(7.39)

Принимая для сталей коэффициент Пуассона m = 0, 3, получим расчетное уравнение инженерного вида:

(7.40)

3. Величина перемещений определяется из анализа формулы (7.27), в соответствии с которой:

Подставляя в формулу (7.27) значения комплекса (А) (формула 7.24) и константу интегрирования (С ₁) (формула 7.34), получим:

. (7.41)

После сокращений и алгебраических преобразований получим выражение, имеющее вид:

(7.42)

Анализ полученной формулы показывает, что в центре диска (r = 0) перемещения равны нулю (u = 0).

При R = r, будем иметь максимум перемещений:

(7.43)

Принимая для сталей коэффициент Пуассона m = 0, 3, получим окончательное выражение инженерного вида:

(7.44)