Квазиоптимальные методы комплексной классификации сигналов в процессах контроля

Алгоритмы, основанные на использовании сравнения отношения правдоподобия с пороговым значением, являются сложными и трудно реализуемыми.

Особенно затруднена в этом случае оценка качества процесса контроля, поскольку правило решения основано на сравнении сложной гипотезы со сложной альтернативой.

В связи с этим более широкое применение находят квазиоптимальные методы контроля, которые давно используются на практике.

Рассмотрим следующую постановку задачу. Пусть модель измерения определяется следующим соотношением (46).

Будем предполагать, что по результатам измерения Y получена оптимальная оценка -m-мерного вектора состояния X по критерию среднего квадрата ошибки оценки , где ошибка оценки . Рассмотрим двуальтернативный случай решения о состоянии объекта контроля. Пусть g₀ и g₁- соответственно непересекающиеся области допустимых и недопустимых значений вектора XÎ W, W-m мерное пространство значений вектора X, при этом выполняются следующие условия: , . Идеальное решение о работоспособности объекта контроля z_T=0 соответствует нахождению вектора XÎ g₀ в поле допуска, идеальное решение о неработоспособности объекта контроля z_T=1 соответствует нахождению вектора XÎ g₁ вне поля допуска. Будем предполагать, что область допустимых значений g₀ известна и представляет собой, как обычно бывает на практике, m-мерный параллелепипед с гранями, параллельными осям координат пространства W. Реальное решение о работоспособности объекта контроля z=0 соответствует нахождению вектора оценки Î G₀ в контрольном поле допуска G₀, реальное решение о неработоспособности объекта контроля z=1 соответствует нахождению вектора оценки вне контрольного поля допуска G₁, при этом выполняются следующие условия: , , , где W m-мерная область возможных значений X и . При этом форму и параметры допустимой области G₀ требуется определить. Для упрощения алгоритма контроля будем использовать квазиоптимальный метод принятия решений, который заключается в сравнении компонент вектора оценки с допустимыми границами. В качестве формы допустимой области G₀ целесообразно использовать такую же форму как у области допустимых значений вектора X g₀, т.е. m-мерный параллелепипед c гранями параллельными осям координат пространства W. Таким образом, задача состоит в том, чтобы определить размеры параллелепипеда оптимальным способом . В качестве критерия оптимальности будем использовать критерии В.А. Котельникова и Неймана-Пирсона.

Запишем выражения для вероятностей ошибок двуальтернативного контроля.

Риск изготовителя, определяемый безусловной вероятностью появления в процессе контроля только ложных отказов

,

где - достоверность канала «годен», определяемая совместной вероятностью нахождения вектора состояния объекта в поле допуска g₀ и принятия решения системой контроля о том, что проверяемый объект работоспособен, - априорная вероятность попадания вектора X в область допустимых значений.

Риск заказчика, определяемый безусловной вероятностью появления в процессе контроля только необнаруженных отказов,

,

где - вероятность попадания вектора оценки состояния в область допустимых значений для оценки G₀.

Достоверность D₁ канала “негоден”, определяемая совместной вероятностью нахождения вектора состояния контроля в области недопустимых значений g₁ и принятия решения системой контроля о том, что проверяемый объект неработоспособен

,

при этом выполняется условие нормировки

,

Чаще всего в процессе контроля контролируемые параметры выбираются независимыми друг от друга, так как при этом наименьшим количеством параметров можно обеспечить заданную полноту контроля и поиск неисправности происходит быстрее. В этом случае априорную плотность вероятности вектора состояния можно представить в следующем виде:

, (3.65)

где h_i (x_i-) плотность распределения i-го параметр вектора X.

Обычно при контроле выполняется условие, что погрешности измерения параметров также независимы друг от друга.

В этом случае плотности распределения и также можно представить в виде произведений плотностей вероятности для отдельных компонент векторов параметров состояния X_i и оптимальных оценок , I=1, 2, …, m

, . (3.66)

Будем считать, что эти условия выполняются. Тогда, можно записать следующие соотношения:

, (3.67)

, (3.68)

. (3.69)

где , ,

.

Тогда выражения для рисков изготовителя и заказчика можно записать в следующем виде:

, (3.70)

. (3.71)

Кроме этих формул на практике часто используют следующие формулы:

, (3.72)

, (3.73)

где - безусловная вероятность появления хотя бы одного риска изготовителя; - безусловная вероятность появления хотя бы одного риска изготовителя по одному из параметров.

При использовании указанных соотношений не выполняется условие нормировки

для ,

При формулы, полученные выше для и и для и совпадают.

Задача оптимизации принимаемых решений в процессе контроля может быть определена следующим образом.

Необходимо определить оптимальные параметры допустимой области вектора по критериям Котельникова и Неймана-Пирсона, предполагая, что она принадлежит классу m-мерных параллелепипедов. При использовании области допустимых значений G₀ в виде параллелепипеда обеспечивается независимость значений поля допуска для i-го параметра от значений j-го параметра, i, j=1, …, m, что значительно упрощает алгоритм контроля. Будем считать, что значение контрольного поля допуска G_0i для i-го параметра определяется соотношением

G_0i= A_Вi-e_i -A_нi+e_i =g_0i+2e_i, i=1, …, m, (3.74)

где поле контролируемое поле допуска g_0i=A_Вi-A_нi, A_Вi, A_нi –соответственно верхнее и нижнее допустимые значения для i-го параметра, 2e_i-неизвестное отклонение для i-го параметра контрольного поля допуска по отношению к контролируемому, при изменении которого определяется оптимальная область допустимых значений вектора .

,

где -m-мерная область оптимальных изменений области контрольных допусков по отношению к области g₀.

Задачу оптимизации по критерию Котельникова математически можно сформулировать следующим образом:

. (3.75)

По критерию Котельникова параметры области G₀ выбираем таким образом, при которых обеспечивается минимальное значение суммы безусловных вероятностей ошибок.

Задача оптимизации по критерию Неймана-Пирсона (прямой) определяется следующим соотношением:

(3.76)

Параметры области G₀ выбираем таким образом, при которых обеспечивается минимальное значение риска изготовителя и при этом риск заказчика равен требуемой величине.

Задача оптимизации по инверсному критерию Неймана-Пирсона математически записывается следующим образом:

(77)

Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению значений , i=1, …, m, обеспечивающих единственный экстремум (безусловный или условный минимум). Наличие одного экстремума по переменным объясняется монотонностью изменения значений и при изменении , i=1, …, m

На рисунках (3.4) и (3.5) представлены зависимости рисков изготовителя , заказчика и суммы ошибок от изменения .

При изменении e_i от -¥ до (A_Вi-A_Нi)/2 значения риска изготовителя a_i изменяется от 0 до значения вероятности нахождения i-го параметра X_i в поле допуска g_0i P_0i .

Рис.3.4 График зависимости риска изготовителя a_I от изменения значений e_i

При изменении e_i от -¥ до (A_Вi-A_Нi)/2 значения риска заказчика b_i изменяется от значения вероятности нахождения i-го параметра X_i вне поля допуска g_1i P_1i=1- P_0i до 0..

Рис.3.5 График зависимости изменения риска заказчика b_I и суммы ошибок a_i +b_I от изменения значений e

На рисунке 3.5 видно наличие минимума у зависимости суммы рисков изготовителя и заказчика от изменения значения e_i.

С учётом соотношений (67)¸ (69)) после простых преобразований решение задачи оптимизации алгоритма контроля по критерию Котельникова определяется следующими соотношениями:

, , . (3.78)

Решение системы уравнений позволяет найти оптимальные значения и затем оптимальную допустимую область G₀^· вектора контролируемых параметров

По критерию Неймана-Пирсона оптимальные значения определяются следующими соотношениями:

, . (3.79)

Если справедливы следующие условия, которые на практике чаще всего выполняются,

, , , , (3.80)

то уравнения для определения оптимальных значений могут быть записаны в следующем виде:

по критерию Котельникова:

, (3.81)

по критерию Неймана-Пирсона:

. (3.82)

Решая уравнения (77), (79) находим оптимальное значение , которое обычно нормировано стандартным значением погрешности измерения , i=1, …, m:

, (3.83)

где , i=1, …, m абсолютные значения одностороннего изменения i-го контрольного поля допуска G_0i относительно контролируемого g_0i.

Пусть выполняются условия (3.78). В этом случае характер изменения рисков изготовителя a и заказчика b от изменения числа параметров представлены на рисунках (3.6) и (3.7). На рисунке (3.6) представлены зависимости изменений вероятностей появления только рисков изготовителей a и только рисков заказчика b от количества контролируемых параметров, т.е.

Рис.3.6 График зависимостей рисков изготовителя и заказчика процесса контроля от изменения числа параметров состояния m

На рисунке (3.7) представлены зависимости изменений вероятностей появления хотя бы одного риска изготовителя a^/ и хотя бы одного риска риска заказчика b^/, определяемых в соответствии с соотношениями (3.72) и (73) от количества контролируемых параметров, т.е.

,

,

Рис. 3.7 График зависимостей появления хотя бы одного риска изготовителя и хотя бы одного риска заказчика при контроле объекта от

числа параметров состояния m

Как видно из рисунка (3.6) зависимости a и b от изменения числа контролируемых параметров имеют максимумы, которым соответствуют следующие значения контролируемых параметров:

4. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА