Основные теоремы

1. Р (А + В) = Р (А) + Р (В), если А · В = Н, то есть А и В — несовместны.

2. Р (А · В) = Р (А) Р (В / A) = P (B) P (A / B).

Условной вероятностью Р (А / В) события А называется вероятность появления этого события, вычисленная при условии, что имело место событие В.

Р (А · В · С) = Р (А) Р (В / A) P (C / A · B)

3. Если события независимые, то Р (А · В) = Р (А) Р (В).

4. Р (Ā) = 1 ‑ Р (А).

Пример 4.1. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0, 7 и 0, 8, производят по одному выстрелу. Найти вероятности следующих событий: в мишени две пробоины; в мишени одна пробоина; в мишени хотя бы одна пробоина.

Решение. Пусть А ₁ — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в цель, А ₂ — второй стрелок попал в цель. По условию Р (А ₁) = 0, 7; Р (А ₂) = 0, 8; А ₁ и А ₂ — независимы.

1. Событие А — в мишени две пробоины: А = А ₁· А ₂, поэтому

Р (А) = Р (А ₁· А ₂) = Р (А ₁)·Р(А ₂) = 0, 7·0, 8 = 0, 56.

2. Событие В — в мишени одна пробоина: В = А ₁ Ā ₂+ Ā ₁ А ₂. Тогда

Р (В) = Р (А ₁) Р (Ā ₂) + Р (Ā ₁) Р (А ₂);

P (Ā ₁) = 1 ‑ P (А ₁) = 0, 3; P (Ā ₂) = 0, 2;

P (B) = 0, 7 · 0, 2 + 0, 8 · 0, 3 = 0, 38.

3. Событие С — в мишени хотя бы одна пробоина (или одна или две).Очевидно, С = А + В, А и В несовместны.

Р (С) = Р (А) + Р (В) = 0, 56 + 0, 38 = 0, 94.

Если Р (А) и Р (В) предварительно не были найдены, проще найти вероятность противоположного события — (в мишени нет пробоин):

= Ā ₁ · Ā ₂; Р () = 0, 3 · 0, 2 = 0, 06; Р (С) = 1 ‑ Р () = 0, 94

Пример 4.2. Слово РЕКЛАМА разрезано на отдельные буквы, они перемешаны. Выбираются одна за другой три буквы. Какова вероятность, что получится слово МАК?

Решение. Чтобы получилось заданное слово (событие А) надо первой вынуть букву М (событие А₁), второй — букву А (событие А₂), третьей — букву К (событие А₃)

А = А ₁ · А ₂ · А ₃; Р (А) = Р (А ₁) · Р (A ₂/ А ₁) · Р (А ₃/ А₁А ₂),

Р (А ₁) = , (n = 7 – всего букв; М встречается 1 раз m = 1),

– вероятность вынуть букву А, если буква М вынута. n = 6; m = 2 (осталось шесть букв, из них две буква А),

Р (А ₃/ А₁А ₂) = – вероятность вынуть букву К, если А и М вынуты.

Р (А) = .