Геометрические вероятности

Геометрическое определение вероятности используется в том случае, когда результат испытания определяется случайным положением точек в некоторой области, причем любые положения точек в этой области равновозможные. Если размер всей области S, а размер части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть , то вероятность равна .

Область может иметь любое число измерений, поэтому и могут представлять собой длины отрезков, площади, объемы.

Пример 3.1. В течение промежутка времени от 11 ч до 11ч 30 мин должен последовать телефонный звонок. Какова вероятность, что звонок последует в последние 10 минут указанного промежутка.

Решение. Будем рассматривать промежуток времени от 11ч до 11ч 30мин, как отрезок АВ длиной 30 единиц, промежуток от 11ч 20мин до 11ч 30мин (последние 10мин) как отрезок СВ длиной 10 единиц.

А С В

Рис. 1.

Вероятность того, что звонок произойдет в последние 10мин, в геометрической схеме означает вероятность того, что случайно брошенная точка в отрезок АВ попадет на отрезок СВ. Эта вероятность, очевидно, равна

.

Пример 3.2. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода каждого парохода независимо от другого и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода — один час, а второго — два часа.

Решение. Воспользуемся геометрической схемой. Пусть х — время прихода первого парохода, у — второго. Все возможные комбинации прихода пароходов к причалу изобразятся точками квадрата (рис. 2). Событие А — один из пароходов ожидает освобождение причала. Оно может состояться лишь в том случае, если момент у прихода второго парохода не более часа отличается от момента прихода первого (), и момент прихода первого не более двух часов отличается от момента прихода второго ().

y

(0; 1) Рис. 2

0 (2; 0) 24 x

Строим область, благоприятствующую событию А, это множество решений системы неравенств

На рис. 2 она заштрихована. Площадь квадрата S = 24² = 576; площадь заштрихованной части =576 ‑ (23)² ‑ (22)² = 69, 5.

^.

С понятием геометрической вероятности связаны задачи № 3 в индивидуальных заданиях.