Исследование режимов работы генератора Чуа

Обезразмеренная система уравнений для генератора Чуа имеет вид

где f(x) – вольт-амперная характеристика (ВАХ) отрицательного сопротивления. В рассматриваемом примере f(x) взята в виде:

График этой функции изображен ниже на рисунке 1.

Рисунок 1

Представлены результаты расчета в программе MatLab, для решения используются одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка с автоматическим выбором шага.

Рассматриваются три решения задачи с различными начальными условиями.

На рисунке 2 представлены фазовые портреты генератора в плоскостях (х0у), (x0z) и (y0z) соответственно по порядку сверху вниз при начальных условиях x0=0.5, y0=0.5, z0=0.5.

Код программы:

% генератор Чуа

clc; clear;

t = [0 25]; %временной интервал

X01 = [0.5 0.5 0.5]; %начальные условия 1

X02 = [0.5 0.5 0.6]; %начальные условия 2

%% решение системы, записанной в " f_Chua"

[t, X1]=ode45('f_Chua', t, X01);

x1 = X1(:, 1); y1 = X1(:, 2); z1 = X1(:, 3);

[t, X2]=ode45('f_Chua', t, X02);

x2 = X2(:, 1); y2 = X2(:, 2); z2 = X2(:, 3);

function Ch=f_Chua(t, x)

alpha = 16; beta = 13.3;

Ch = [ alpha*(x(2)-x(1)-f_vah(x(1)));

x(1)-x(2)+x(3);

-beta*x(2)];

function fx=f_vah(x)

gamma = 4;

if abs(x)< 6

fx = -gamma*sin(0.4*x);

else

fx = 0;

end

Рисунок 2

Теперь такие же графики для второй задачи с начальными условиями x0=0.5, y0=0.5, z0=0.55.

Рисунок 3

И, наконец, графики для третьей задачи с начальными условиями x0=0.5, y0=0.5, z0=0.6.

Рисунок 4

По представленным на рисунках графикам видно как меняется характер решения при изменении начальных условий. Видно, что генератор работает только при начальных условиях 1 и 2 (см. рисунки 3, 4, при увеличении времени анализа траектория сходится к замкнутой кривой).

Посмотрим на параметр, который характеризует степень разбегания траекторий d(t). На графике, изображенном на рисунке 5 видно как сильно разбегаются траектории первого и второго решения со временем.

Рисунок 5

Рассмотрим теперь влияние крутизны ВАХ, для этого увеличим значение в программе, например, на 0.01, функция будет иметь вид:

На рисунке 6 и 7 представлены фазовые портреты в тех же плоскостях что и ранее при двух начальных условиях. На рисунке 8 изображен график, характеризующий степень разбегания траекторий.

Рисунок 6

Рисунок 7

Рисунок 8

По рисункам видно, что графики значительно различаются.

При уменьшении крутизны ВАХ, т.е. при уменьшении параметра , фазовые портреты для двух начальных условий почти не различаются. Это соответствует ожиданиям, т.к. в данном случае существует только одна устойчивая точка.

Графики фазовых портретов изображены на рисунке 9, а график разбега траекторий - на рисунке 10, по которому видно, что разбег траекторий не велик и максимальное значение разбега меньше единицы, в то время как раньше оно было около 30.

Рисунок 9

Рисунок 10