Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод наименьших квадратов. ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Пусть функция задана на некотором дискретном или непрерывном множестве А. Выберем систему линейно независимых функций , заданных на множестве. Рассмотрим задачу приближения функции на множестве А многочленом вида . При фиксированной системе функций многочлен однозначно определяется коэффициентами , т.е. . Многочлен называется многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции на множестве А, если выполняется соотношение . Здесь . Можно показать, что коэффициенты , минимизирующие квадрат расстояния , должны удовлетворять системе линейных уравнений , (4.6) где . Систему уравнений (4.6) называют нормальной системой. Благодаря предположению о линейной независимости функций решение системы (4.6) всегда существует и единственно. Приближение функций алгебраическими многочленами. Часто для среднеквадратичных приближений используют системы алгебраических многочленов. Система степенных функций является простейшей и имеет вид . (4.7) Такая система линейно независима в пространстве непрерывных на интервале функций. В пространстве функций, заданных таблично на множестве точек , система (4.7) линейно независима при и линейно зависима в противном случае. Пример 6. Для функции построить многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения по системе степенных функций (4.7) для двух значений , равных 2 и 3. Вычислить значение квадрата расстояния от до приближаемой функции , т.е. при и при . Определить величину относительного уменьшения ошибки аппроксимации . Решение. Найдем многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции . Для расчета коэффициентов нормальной системы уравнений необходимо воспользоваться справочниками, содержащими таблицы интегралов от степенных и тригонометрических функций. Напомним, что . 1. . В наших обозначениях . Коэффициенты нормальной системы уравнений . Следовательно, нормальная система уравнений относительно неизвестных и имеет вид: . Решая систему, получим . Многочлен наилучшего приближения . 2. . В данном случае . Нормальная система уравнений . Решение системы . Многочлен наилучшего приближения . Следует отметить, что вычисления коэффициентов многочлена необходимо проводить с точностью до третьего знака после запятой. Вычислим квадрат расстояния от приближаемой функции до многочлена наилучшего приближения . Относительная ошибка аппроксимации . Видно, что ошибка аппроксимации функции многочленом почти в три раза меньше, чем при аппроксимации многочленом .
Варианты заданий для выполнения контрольной работы.
Контрольная работа состоит из 5 заданий. Задание 1. Решить систему линейных уравнений А методом LU- разложений.
Задание 2. Оценить погрешность решения системы уравнений ( см. задание 1), если погрешность задания вектора равна 0.01. Задание 3. Решить систему линейных уравнений
методом итераций с погрешностью, не превышающей =0.01.
Задание 4. Построить квадратичный интерполяционный многочлен Лагранжа для функции на отрезке . Найти оценку погрешности интерполяции на всем отрезке.
Задание 5. Приближаемая функция задана на отрезке .Требуется построить многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения по системе степенных функций для двух значений , равных 2 и 3. Вычислить значение квадрата расстояния от до приближаемой функции , т.е. при и при . Определить величину относительного уменьшения ошибки аппроксимации .
|