Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Пусть на интервале задана система интерполяционных узлов . В которых известны значения функции . Задача интерполяции алгебраическими многочленами состоит в построении многочлена степени , значения которого в заданных узлах интерполяции совпадают со значениями функции в этих узлах: . (4.1) Покажем, что поставленная задача имеет единственное решение. Для вычисления коэффициентов , , составим систему линейных уравнений , . Определитель данной системы имеет вид:
и называется определителем Вандермонда. Такой определитель отличен от нуля, если при . В этом случае система имеет единственное решение. Интерполяционный многочлен естественно искать в виде . Удовлетворяя условиям интерполяции (4.1), получаем соотношения , которые выполняются, если на функции наложить ограничения . Последние условия означают, что каждая из функций , , имеет не менее нулей на интервале . Поэтому целесообразно искать эти функции в виде . Из условия имеем . Следовательно, искомые функции вычисляются по формулам . Отсюда интерполяционный многочлен имеет вид . (4.2) Форма представления интерполяционного многочлена в виде линейной комбинации значении приближаемой функции с коэффициентами называется формой Лагранжа. Если ввести обозначение , (4.3) то многочлен Лагранжа можно записать в виде . Оценка погрешности интерполяции. Погрешность приближения функции интерполяционным многочленом Лагранжа (4.2) описывается разностью . Для функций формула оценки погрешности интерполяции в точке имеет вид: , (4.4) оценка погрешности на интервале задается формулой (4.5) Пример 4. Функция задана своими значениями в узлах Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценить погрешность интерполяции в точке =5, считая . Решение. Используя формулу (4.2), напишем интерполяционный многочлен Лагранжа , итак, для получаем . Оценим погрешность интерполяции в точке =5, используя формулу (4.4): Пример 5. Найти оценку погрешности интерполяции функции на отрезке квадратичным интерполяционным многочленом Лагранжа. Решение. По формуле (4.5) имеем . Оценим правую часть неравенства: , максимальное значение достигается в точке : . Итак, получаем следующую оценку погрешности интерполяции:
|