Построение модели рынка

Рассматривается рынок с одним товаром, который в соответствии с определением раздела 5.1 представим в виде трех подсистем:

· производители в совокупности, определяющие рыночное предложение;

· потребители, определяющие рыночный спрос;

· третья связующая подсистема – товар.

Первая подсистема представлена Q производителями, вторая - L потребителями этого продукта: Q – число, q - индекс, а Q º - множество индексов производителей (фирм), аналогично l - индекс, L - число, L - множество потребителей, l = .

Математическая модель рынка должна отражать цели участников рынка и ограничения, накладываемые на их деятельность, а также учитывать внешнее окружение, которое может быть определено функциями спроса и предложения. Поэтому рассмотрим два варианта модели рынка:

· общая модель рынка, т. е. без учета функции спроса-предложения;

· модель рынка, учитывающая функции спроса-предложения.

Математическую модель одно - продуктового рынка (1 вариант) с учетом целей всех потребителей и производителей продукта, а также ограничений, накладываемых на их финансовые возможности (бюджет) и ресурсы, представим в виде векторной задачи математического программирования (ВЗМП):

opt F (X (t))= { F ₁(X (t)) = { max f_q (X (t)) = p_qx_ql (t), q= }, (5.3.1)

F ₂(X (t))={ min f_l (X (t)) = p_qx_ql (t), l= }}, (5.3.2)

b £ p_qx_ql £ b , l= , (5.3.3)

a_qx_ql (t)£ b_q, q= , (5.3.4)

p £ p_q £ p , x_ql(t) ³ 0, q= , l= , (5.3.5)

где F (X (t)) - векторная целевая функция (векторный критерий), в ней K = Q È L - множество критериев - потребителей и производителей соответственно;

p_q = p_q - a_q, q= - прибыль производителей, определяющаяся разностью между ценой продажи p_q и затратами a_q;

p_q, x_ql, q= , l= - управляющие переменные, они представлены в задаче произведением, из этого вытекает, что задача векторной оптимизации (5.3.1)-(5.3.5) - нелинейная;

в (5.3.1) F ₁(X (t))- векторный критерий Q производителей, которые максимизируют прибыль от производства и продажи отдельного вида товаров;

в (5.3.2) F ₂(X (t))- векторный критерий L потребителей, которые минимизируют свои затраты, за счет стоимости на покупаемую продукцию;

(5.3.3) - ограничения по бюджетным (финансовым) возможностям L потребителей, а (5.3.4) - ограничения по производственным мощностям Q производителей;

(5.3.5) - ограничения, определяющие пределы изменения стоимости единицы товара, установленные на рынке, и ограничения, связанные с не отрицательностью объемов произведенной и проданной продукции.

Задача (5.3.1)-(5.3.5) представляет модель одно - продуктового рынка на дискретный период t Î T.

Для решения векторной задачи математического программирования (5.3.1)-(5.3.5) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, которые дают возможность решать задачи при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия, представленные в девятой главе.

В результате решения задачи (5.3.1)-(5.3.5) - модели одно - продуктового рынка при равнозначных критериях получим:

· точку оптимума Х^o= { x , p , q= , l= }, которая складывается из двух составляющих: x - объемы продукта, произведенного и проданного каждым производителем каждому потребителю, p - стоимости, которая удовлетворяет требованиям, как производителей, так и потребителей за период времени tÎ T;

· величины целевых функций в точке X^o: f_k (X^o), k= , K=Q È L, в т. ч. f_q (X^o), q= , определяют доходы каждого производителя; f _l(X^o), l = , определяют затраты каждого покупателя;

· суммарный объем продаж всех производителей и финансовых затрат всех потребителей, которые равны между собой:

f_{å q}(X)= (p_ql+a_ql) x =f_{å l} (X) = p x , (5.3.6)

т. е. суммарное предложение f_{å q}(X) равно суммарному спросу f_{å l}(X), заметим, что состояние рынка, при котором спрос равен предложению, называется равновесным, а цена, при которой достигается равенство спроса и предложения, называется равновесной ценой, т. е. p - равновесная цена;

· величины целевых функций f_k(X^o), k= , выраженные относительно своих оптимумов X , т. е.

l _k (X^o) = (f_k (X^o) -f )/(f -f ), k= , (5.3.7)

где l_k(X^o), k= , X^oÎ S - нормализованный критерий, в котором f -наилучшее решение по k Î K критерию, f - наихудшее соответственно, K = Q È L - множество критериев;

· максимальную относительную оценку l^o, которая является максимальным нижним уровнем, и до которого подняты обоюдные интересы всех производителей и потребителей в относительных единицах l _k (X ^o), k = , другими словами, l^o является гарантированным результатом, который гарантирует, что в полученной оптимальной точке X^o все критерии в относительных единицах (оценки производителей и потребителей) равны или лучше l^o: l _k (X^o)³ l ^o или

l^o £ l _k (X^o), k = , X^o Î S. (5.3.8)

Любое увеличение интересов (критерия) какого-либо производителя или потребителя, приводят к ухудшению оставшихся участников рынка (производителей и потребителей), т. е. точка { X^o, l ^o} оптимальна по Парето.

Вектор - функция F₁ (X) = { f_q (X^o), q= } представляет собой функцию предложения, а вектор - функция F ₂(X) = { f_l (X^o), l= } представляет функцию спроса.