Моделирование поведения отдельного производителя с учетом статистической функции предложения

Для построения модели поведения отдельного производителя на какой-либо период с учетом статистических данных используем результаты эконометрического анализа функции предложения q-го производителя. Рассмотрим линейную функцию предложения [3]:

q = b _o ' + b _xp_х +b _wp_w +b _rp_r +b _hh_x, (5.2.25)

где q (s - supply - предложение) - количество требуемого товара X, p_х - цена этого товара, p_w - цена исходных ресурсов, необходимых для производства (например, цена на сырьё, заработную плату основных производственных рабочих и т. д.), p_r - цена технологически однородных товаров, h_x - значение любой другой переменной, влияющей на предложение товара на рынке, (например, доступность технологий, число конкурентов на рынке, размер налогов или ожидания производителей);

b _o ', b _x, b _w, b _r, b _h – это фиксированные коэффициенты, величины которых могут быть получены на основе исследования статистических данных реализации товара, используя регрессионный анализ.

Преобразуем это выражение, предполагая, что факторы с_w, p_r, h_x не изменяются, а q = x_ql (t), " q Î Q, в итоге из (5.2.25) получим:

x_ql (t)=b _o ''+b _xp_х, " q Î Q,

где b _o ''=b _o ' +b _wp_w +b _rp _r +b _hh_x.

Вычислим из этого выражения цену товара:

p_х = b _o + b _l x_ql (t), " q Î Q,

где b _o =(b _o ' +b _wp_w +b _rp_r +b _hh_x)/b _x, b _l =1/b _x.

Перенесем в этом уравнении все (L+1) переменные в левую часть и приведем равенство к стандартному виду:

p - a_l x_ql (t)= b^s, " q Î Q, (5.2.26)

где p = p_х, a_l=b_l, b^s = b _o.

Цель любого производителя продать как можно больше товара по наиболее возможно высокой цене, с тем, чтобы получить, возможно, высокую прибыль. Эту целенаправленность можно представить в виде задачи математического программирования (ЗМП):

" q Î Q max f_q (X (t))= p _qx_ql (t), (5.2.27)

при ограничениях

p - a_l x_ql (t)= b^s, (5.2.28)

a_qx_ql (t)£ b_q, a_q £ p £ p^max, x_ql (t)³ 0. (5.2.29)

где f_q (X (t)) - целевая функция (критерий), управляющие переменные p _q = p_q - a_q и x_ql, " q Î Q представлены в задаче произведением, а отсюда задача оптимизации (5.2.27)-(5.2.29) – не линейна, в ней производитель максимизирует свои прибыли за счет изменения стоимости; (5.2.28) - ограничения по предложению на данном рынке (функция предложения); (5.2.29) - ограничения по ресурсным возможностям q -го производителя.

Задача (5.2.27)-(5.2.29) является моделью поведения любого q Î Q производителя на дискретный период t Î T.

Методологию построения модели и моделирования покажем на примере решения оптимизационной задачи (5.2.27)-(5.2.29).

Пример 7.3. (Нелинейная модель производителя с функцией предложения).

Дано. Статистические данные о цене и производстве (с последующей продажей) телевизоров. Они получены путем опроса десяти производителей телевизионных приемников на предмет объема производства при заданной цене. Объем производства приемников будем считать величиной переменной, а цену – исходной. Вид статистических данных представлен в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Статистические данные о цене и количестве произведенных телевизоров

Рассматривается две фирмы, выпускающие один продукт. Обозначим: x ₁, x ₂ – вектор переменных, характеризующий объемы продукции, произведенные первым и вторым производителем соответственно. На объем производства и соответственно продажи оказывают влияние производственные возможности фирм: a ₁, a ₂ - затраты на производство продукта у обоих производителей; b_q, q =1, 2, - финансовые возможности фирм при производстве продукта; b , b - минимальный и максимальный объем финансовых средств, которые могут выделить на покупку продукта от разных фирм потребитель; x - минимальный объем товара, которые потребляет от разных фирм потребитель.

Примем: a ₁= a ₂=400, b ₁= b ₂=150000, b =100000, b =300000.

Требуется провести регрессионный анализ статистических данных, т. е. построить линию регрессии и определить статистические параметры регрессии, построить функцию предложения, оптимизационную модель предложения с использованием этой функции и рассчитать оптимальную цену и объемы производства обоих производителей.

Решение проведем в три этапа: используя, статистические данные табл. 5.2. построим функцию предложения, на ее основе построим оптимизационную модель, которая ее учитывает, и проведем расчет оптимальной цены и объемов производства.

Построим функцию предложения, для чего проведем регрессионный анализ статистических данных табл. 5.2. Введем статистические данные табл. 5.2 в электронные таблицы программы Statistica (Система программного обеспечения анализа данных) [8] и поведем расчет. В результате расчета получим: средние значения цены и реализуемого товара, а также данные регрессионного анализа.

Таким образом, линейной функцией предложения на телевизоры, при которой минимизируется квадрат погрешностей между множеством фактических точек и линией, произведенной через это множество, является уравнение:

q = -566, 07 + 2, 11 p_х. (5.2.30)

Это уравнение и соответствующие параметры регрессионного анализа показаны на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Функция предложения и параметры регрессионного анализа

Построим оптимизационную задачу с учетом функции предложения.

Функция предложения представлена уравнением: q = -566, 07 + 2.11 p_х, которое приведем к виду:

x ₁ + x ₂ - 2.11p= -566.07, (5.2.31)

где p = p_х определяет величину рыночной стоимости на товар – телевизоры, при совокупном объеме производства: q = x ₁ + x ₂ .

Используя (5.2.31) построим задачу нелинейного программирования:

max f (X) = (p -400) x ₁ + (p -400) x ₂ , (5.2.32)

при ограничениях x ₁ + x ₂ - 2.11 p = -566.07, (5.2.33)

100000≤ px ₁ + px ₂ ≤ 300000, (5.2.34)

400 x ₁≤ 150000, 400 x ₂≤ 150000, x ₁, x ₂, с ³ 0, (5.2.35)

где X ={ x ₁, x ₂, p } – вектор неизвестных, определяющий конструктивные параметры рыночного предложения индивидуального производителя.

Решим задачи нелинейного программирования (5.2.32)-(5.2.35), используя алгоритм, представленный в системе Matlab (функция fmincon (…)) [39]. В результате решения получим: X ^*={ x ₁=357.8, x ₂=203.6, p =534.4}, f ^*=75431.

Максимальный уровень производства фирмы определяется кривой предложения:

x ₁ + x ₂ -2.11 p = 357.7785+ 203.6442 -2.11*534.3567=-566.07.

Результаты: q = x ₁ + x ₂ =561.4 и p =534.4 представляют координаты точки функции спроса на рис. 5.3.

Если решать задачу минимизации - min f (X), то в результате решения получим: X ^*={ x ₁=128.25, x ₂=128.25, p =389.8483}, f^* =2604.0, при этом x ₁ + x ₂ -2.11 p = 128.25+ 128.25+2.11*389.85=-566.07, т. е. результат также удовлетворяет кривой предложения.

Таким образом, в рассмотренной оптимизационной модели индивидуального производителя (5.2.32)-(5.2.35) полученный результат учитывает, с одной стороны, мощности производителя, а с другой соответствие функции предложения.