Силовые линии электростатического поля. Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса.

Электрический заряд. Закон сохранения заряда. Взаимодействие электрических зарядов в вакууме. Закон Кулона. Электростатическое поле. Напряженность поля. Сложение электростатических полей. Принцип суперпозиции. Электростатическое поле диполя. Взаимодействие диполей.

Электрический заряд – это физическая величина, характеризующая свойство частиц или тел вступать в электромагнитные силовые взаимодействия.

Одним из фундаментальных законов природы является экспериментально установленный закон сохранения электрического заряда. В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех тел остается постоянной: q1 + q2 + q3 +... +qn = const. Закон сохранения электрического заряда утверждает, что в замкнутой системе тел не могут наблюдаться процессы рождения или исчезновения зарядов только одного знака. Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными. Заряды могут передаваться (например, при непосредственном контакте) от одного тела к другому. В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемой характеристикой данного тела. Одно и то же тело в разных условиях может иметь разный заряд. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные –притягиваются. В этом также проявляется принципиальное отличие электромагнитных сил от гравитационных. Гравитационные силы всегда являются силами притяжения. Электрический заряд тела – дискретная величина: Идея измерений основывалась на блестящей догадке Кулона о том, что если заряженный шарик привести в контакт с точно таким же незаряженным, то заряд первого разделится между ними поровну. Таким образом, был указан способ изменять заряд шарика в два, три и т. д. раз. В опытах Кулона измерялось взаимодействие между шариками, размеры которых много меньше расстояния между ними. Такие заряженные тела принято называть точечными зарядами. Точечным зарядом называют заряженное тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. На основании многочисленных опытов Кулон установил следующий закон: силы взаимодействия неподвижных зарядов прямо пропорциональны произведению модулей зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними: где – электрическая постоянная. Закон Кулона справедлив для точечных заряженных тел. Практически закон Кулона хорошо выполняется, если размеры заряженных тел много меньше расстояния между ними. Кулон – это заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А. e = 1, 602177·10^–19 Кл ≈ 1, 6·10^–19 Кл.

Силы взаимодействия подчиняются третьему закону Ньютона: Они являются силами отталкивания при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения при разных знаках. Взаимодействие неподвижных электрических зарядов называют электростатическим или кулоновским взаимодействием. Раздел электродинамики, изучающий кулоновское взаимодействие, называют электростатикой.

Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется электростатическим. Во многих случаях для краткости это поле обозначают общим термином – электрическое поле. Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика -напряженность электрического поля.

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда:

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора в каждой точке пространства совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Силы кулоновского взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции. Если заряженное тело взаимодействует одновременно с несколькими заряженными телами, то результирующая сила, действующая на данное тело, равна векторной сумме сил, действующих на это тело со стороны всех других заряженных тел.

Принцип суперпозиции утверждает, что при заданном (фиксированном) распределении зарядов на всех телах силы электростатического взаимодействия между любыми двумя телами не зависят от наличия других заряженных тел.

Одной из основных задач электростатики является оценка параметров поля при заданном, стационарном, распределении зарядов в пространстве. Один из способов решения подобных задач основан на принципе суперпозиции. Суть его в следующем: если поле создается несколькими точечными зарядами, то на пробный заряд q действует со стороны заряда qk такая сила, как если бы других зарядов не было. Результирующая сила определится выражением:

– это принцип суперпозиции или независимости действия сил. Т.к. , то – результирующая напряженность поля в точке, где расположен пробный заряд, так же подчиняется принципу суперпозиции:

Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности. В соответствии с законом Кулона напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю: . Это поле называется кулоновским. В кулоновском поле направление вектора зависит от знака заряда Q: если Q > 0, то вектор направлен по радиусу от заряда, если Q < 0, то вектор направлен к заряду.

Это соотношение выражает принцип наложения или суперпозиции электрических полей и представляет важное свойство электрического поля. Напряженность результирующего поля, системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, созданных в данной точке каждым из них в отдельности.

Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине, но разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми l значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы ( ).

Здесь l называют плечом диполя – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и численно равный расстоянию между зарядами.

Найдем Е в точке А на прямой, проходящей через центр диполя и перпендикулярной к оси:

(т.к. )

Из подобия заштрихованных треугольников можно записать:

Обозначим вектор: – электрический момент диполя (или д ипольный момент) – произведение положительного заряда диполя на плечо . Направление совпадает с направлением, т.е. от отрицательного заряда к положительному. Тогда, учитывая что получим:

Пример 2. На оси диполя, в точке В (рис. 1.6):

,

Пример 3. В произвольной точке С (рис. 1.7).

Рассмотрим взаимодействие диполей, расположенных вдоль одной оси. Расстояние между центрами диполей обозначим r; пусть это расстояние много больше плеча диполя:

Сила взаимодействия складывается из четырех компонентов – двух сил отталкивания между одноименными зарядами и двух сил притяжения – между разноименными зарядами:

После нескольких преобразований получим .
Обозначив и отбрасывая l², как очень малую величину по сравнению с r², имеем

Нетрудно обобщить это выражение для случая взаимодействия ди-полей с разными электрическими моментами и :

Итак, если дипольные моменты двух диполей расположены вдоль одной прямой и одинаково направлены, то они притягиваются, причем сила притяжения пропорциональна произведению электрических моментов диполей и обратно пропорциональна четвертой степени расстояния между ними. Следовательно, дипольное взаимодействие убывает с расстоянием значительно быстрее, чем взаимодействие между точечными зарядами.

Вычислим силу взаимодействия между диполями, расположенными так, как показано на рисунке 1.9.

Равнодействующая сила

Учитывая, что и получаем после нескольких преобразований

Полагая, как и выше, что , следовательно , имеем

Сравнивая выражения (1.6.2) и (1.6.3), убеждаемся, что, в отличие от центральных сил (гравитационных и кулоновских), сила взаимодействия между диполями зависит не только от расстояния между ними, но и от их взаимной ориентации. Аналогичными свойствами обладают ядерные силы.

Силовые линии электростатического поля. Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса.

Теорема Остроградского–Гаусса устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем. Она представляет собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона. напряженность электростатического поля, создаваемого данным распределением зарядов, всегда можно вычислить с помощью закона Кулона. Полное электрическое поле в любой точке является векторной суммой (интегральным) вкладом всех зарядов, т.е.

или

Однако, за исключением самых простых случаев, вычислить эту сумму или интеграл крайне сложно. Здесь приходит на помощь теорема Остроградского-Гаусса, с помощью которой гораздо проще удается рассчитать напряженность электрического поля, создаваемая данным распределением зарядов. Основная ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в том, что она позволяет глубже понять природу электростатического поля и устанавливает более общую связь между зарядом и полем. Для того чтобы описать электрическое поле, нужно задать вектор напряженности в каждой точке поля. Это можно сделать аналитически или графически. Для этого пользуются силовыми линиями – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности

Если силовые линии однородного электрического поля напряженностью пронизывают некоторую площадку S, то поток вектора напряженности (раньше мы называли число силовых линий через площадку) будет определяться формулой:

где E_n – произведение вектора на нормаль к данной площадке (рис. 2.5).

Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф_Ечерез эту поверхность.

В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор .

Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим примеры, изображенные на рисунках 2.6 и 2.7.

Для рисунка 2.6 – поверхность А₁ окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е. Поверхность А₂ – окружает отрицательный заряд, здесь и направлен внутрь. Общий поток через поверхность А равен нулю.

Для рисунка 2.7 – поток будет не равен нулю, если суммарный заряд внутри поверхности не равен нулю. Для этой конфигурации поток через поверхность А отрицательный.

Таким образом, поток вектора напряженности зависит от заряда. В этом смысл теоремы Остроградского-Гаусса.

Рассмотрим рис. 2.8.

Для данной конфигурации поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку d S будет равен:

Т.е. в однородном поле В произвольном электрическом поле

Здесь , т.е. ориентация d S в пространстве задается с помощью единичного вектора . Таким образом, направление вектора совпадает с направлением внешней нормали к поверхности.

Подсчитаем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q (рис. 2.9). Окружим заряд q сферой S ₁.

Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S ₁ равен R ₁.

В каждой точке поверхности S ₁ проекция на направление внешней нормали одинакова и равна:

Тогда поток через S ₁

Подсчитаем поток через сферу S ₂, имеющую радиус R ₂:

Из непрерывности линии следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине:

– теорема Гаусса для одного заряда.

Линии напряженности начинаются и заканчиваются на зарядах (или в бесконечности).

Полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности:

Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε ₀.

При вычислении потока через замкнутую поверхность, вектор нормали следует считать направленным наружу. Линии , выходящие из объема, ограниченного данной поверхностью, создаютположительный поток, линии же, входящие в объем – отрицательный поток.

Если между нашими сферами расположить ещё одну поверхность S ₃, не охватывающую заряд, то, как видно из рисунка 2.9, каждая линия напряженности будет дважды пересекать эту поверхность: один раз с положительной стороны – войдет в поверхность S ₃, другой раз – с отрицательной стороны – выйдет из поверхности S ₃. В результате алгебраическая сумма линий напряженности, проходящая через замкнутую поверхность S ₃ будет равна нулю, т.е. полныйпоток, проходящий черезS ₃, равен нулю.

Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность S будет равен:

– если заряд расположен внутри замкнутой поверхности;

– если заряд расположен вне замкнутой поверхности;

этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда.